常用的基本求导公式

第1页共17页1．基本求导公式⑴0)(C（C为常数）⑵1)(nnnxx；一般地，1)(xx。特别地：1)(x，xx2)(2，21)1(xx，xx21)(。⑶xxee)(；一般地，)1,0(ln)(aaaaaxx。⑷xx1)(ln；一般地，)1,0(ln1)(logaaaxxa。2．求导法则⑴四则运算法则设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）)()())()((xgxfxgxf；（Ⅱ）)()()()())()((xgxfxgxfxgxf，特别)())((xfCxCf（C为常数）；（Ⅲ）)0)((,)()()()()())()((2xgxgxgxfxgxfxgxf，特别21()()()()gxgxgx。3．微分函数()yfx在点x处的微分：()dyydxfxdx常用的不定积分公式（1）cxdxxxdxxcxxdxcxdxCxdxx43,2,),1(11433221；（2）Cxdxx||ln1；Cedxexx；)1,0(lnaaCaadxaxx；（3）dxxfkdxxkf)()(（k为常数）5、定积分()()|()()bbaafxdxFxFbFa⑴bababadxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()]()([2121⑵分部积分法设u(x)，v(x)在[a，b]上具有连续导数)(),(xvxu，则第2页共17页bababaxduxvxvxuxdvxu)()()()()()(6、线性代数特殊矩阵的概念（1）、零矩阵,000022O（2）、单位矩阵100010001nI二阶,100122I(3)、对角矩阵naaaA000000021(4)、对称矩阵752531212,Aaajiij(5)、上三角形矩阵nnnnaaaaaaA000022211211下三角形矩阵naaaA000000021(6)、矩阵转置nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211转置后nnnnnnTaaaaaaaaaA2122212121116、矩阵运算hdgcfbeahgfedcbaBAdhcfdgcebhafbgaehgfedcbaAB7、MATLAB软件计算题例6试写出用MATLAB软件求函数)eln(2xxxy的二阶导数y第3页共17页的命令语句。解：clear;symsxy;y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x));dy=diff(y,2)例：试写出用MATLAB软件求函数)eln(xxy的一阶导数y的命令语句。clear;symsxy;y=log(sqrt(x)+exp(x));dy=diff(y)例11试写出用MATLAB软件计算定积分21de13xxx的命令语句。解：clear;symsxy;y=(1/x)*exp(x^3);int(y,1,2)例试写出用MATLAB软件计算定积分xxxde13的命令语句。解：clear;symsxy;y=(1/x)*exp(x^3);int(y)MATLAB软件的函数命令第4页共17页表1MATLAB软件中的函数命令函数axxxexlnxlgx2logxMATLABax^)(xsqrt)exp(x)log(x)(10logx)(2logx)(xabs运算符号运算符+-*/^功能加减乘除乘方典型例题例1设某物资要从产地A1，A2，A3调往销地B1，B2，B3，B4，运输平衡表（单位：吨）和运价表（单位：百元/吨）如下表所示：运输平衡表与运价表销地产地B1B2B3B4供应量B1B2B3B4A17311311A241928A3974105需求量365620（1）用最小元素法编制的初始调运方案，（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用。解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：运输平衡表与运价表第5页共17页找空格对应的闭回路，计算检验数：11＝1，12＝1，22＝0，24＝－2已出现负检验数，方案需要调整，调整量为1调整后的第二个调运方案如下表：运输平衡表与运价表销地产地B1B2B3B4供应量B1B2B3B4A1527311311A23141928A363974105需求量365620求第二个调运方案的检验数：11＝－1已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为2调整后的第三个调运方案如下表：销地产地B1B2B3B4供应量B1B2B3B4A1437311311A23141928A363974105需求量365620第6页共17页运输平衡表与运价表销地产地B1B2B3B4供应量B1B2B3B4A1257311311A21341928A363974105需求量365620求第三个调运方案的检验数：12＝2，14＝1，22＝2，23＝1，31＝9，33＝12所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为：2×3＋5×3＋1×1＋3×8＋6×4＋3×5＝85（百元）例2某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。1．试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型。2.写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。第7页共17页解：1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为x1件、x2件和x3件，显然x1，x2，x3≥0线性规划模型为0150636180544300250400max321321321321xxxxxxxxxxxxS，，2．解上述线性规划问题的语句为：clear;C=-[400250300];A=[445;636];B=[180;150];LB=[0;0;0];[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)例3已知矩阵2101111412210101CBA，，，求：TCAB解：3612201116012101111412210101CAB例4设y＝(1＋x2)lnx，求：y解：xxxxxxxxy2221ln2))(ln1(ln)1(例5设xyx1e，求：y解：22)1(e)1()1(e)1()e(xxxxxyxxx第8页共17页例7某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品，总成本增加1万元，销售该产品q百台的收入为R(q)＝4q－0.5q2（万元）。当产量为多少时，利润最大？最大利润为多少？解：产量为q百台的总成本函数为：C(q)＝q＋2利润函数L(q)＝R(q)－C(q)＝－0.5q2＋3q－2令ML(q)＝－q＋3＝0得唯一驻点q＝3（百台）故当产量q＝3百台时，利润最大，最大利润为L(3)＝－0.5×32＋3×3－2＝2.5（万元）例8某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。解：库存总成本函数qqqC100000000040)(令01000000000401)(2qqC得定义域内的唯一驻点q＝200000件。即经济批量为200000件。例9计算定积分：10d)e3(xxx解：25e3)e321(d)e3(|10210xxxxx例10计算定积分：312d)2(xxx解：3ln2326|)|ln231(d)2(|313312xxxxx教学补充说明1.对编程问题，要记住函数ex，lnx，x在MATLAB软件中相应的命令函数exp(x)，log(x)，sqrt(x)；第9页共17页2对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式：cxaxxaa111d（a≠－1）cxxxedecxxx||lnd17.记住两个函数值：e0＝1，ln1＝0。模拟试题一、单项选择题：（每小题4分，共20分）1.若某物资的总供应量（C）总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0，则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。(A)等于(B)小于(C)大于(D)不超过2．某物流公司有三种化学原料A1，A2，A3。每公斤原料A1含B1，B2，B3三种化学成分的含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤；每公斤原料A2含B1，B2，B3的含量分别为0.1公斤、0.3公斤和0.6公斤；每公斤原料A3含B1，B2，B3的含量分别为0.3公斤、0.4公斤和0.3公斤。每公斤原料A1，A2，A3的成本分别为500元、300元和400元。今需要B1成分至少100公斤，B2成分至少50公斤，B3成分至少80公斤。为列出使总成本最小的线性规划模型，设原料A1，A2，A3的用量分别为x1公斤、x2公斤和x3公斤，则目标函数为（D）。(A)maxS＝500x1＋300x2＋400x3(B)minS＝100x1＋50x2＋80x3第10页共17页(C)maxS＝100x1＋50x2＋80x3(D)minS＝500x1＋300x2＋400x33.设721,7421xBxA，并且A＝B，则x＝（C）。(A)4(B)3(C)2(D)14．设运输某物品q吨的成本（单位：元）函数为C(q)＝q2＋50q＋2000，则运输该物品100吨时的平均成本为（A）元/吨。(A)170(B)250(C)1700(D)170005.已知运输某物品q吨的边际收入函数为MR(q)，则运输该物品从100吨到300吨时的收入增加量为（D）。(A))0(d)(300100CqqMR(B)100300d)(qqMR(C)qqMRd)((D)300100d)(qqMR二、计算题：（每小题7分，共21分）6．已知矩阵2101111412210101CBA，，，求：AB＋C解：3702210116012101111412210101CAB7.设31lnxxy，求：y解：23232333)1(ln31)1()1()(ln)1()(lnxxxxxxxxxxy第11页共17页8.计算定积分：103d)e2(xxx解：47e2)e241(d)e2(|104103xxxxx三、编程题：（每小题6分，共12分）9.试写出用MATLAB软件求函数)eln(2xxxy的二阶导数y的命令语句。解