吉林省白城市第一中学2018-2019学年高一数学3月月考试题

吉林省白城市第一中学2018-2019学年高一数学3月月考试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）1.在△ABC中，若a＝3，cosA＝12，则△ABC外接圆的半径为()A.6B.23C.3D.32．已知向量a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)，若a⊥b，则实数k等于()A.12B．－2C．－7D．33．在△ABC中，若c＝2，b＝2a，且cosC＝14，则a等于()A．2B.12C．1D.134．已知向量a＝(32，sinα)，b＝(sinα，16)，若a∥b，则锐角α为()A.30°B.60°C.45°D.75°5.在△ABC中，(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，则△ABC的形状一定是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形6．已知a＝(1，－2)，b＝(3,4)，则a在b方向上的投影是()A．1B．－1C．5D．－57．下列关于向量a，b的叙述中，错误的是()A．若a2＋b2＝0，则a＝b＝0B．若k∈R，ka＝0，所以k＝0或a＝0C．若a·b＝0，则a＝0或b＝0D．若a，b都是单位向量，则a·b≤1恒成立8．设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝(2cosA，2sinA)，b＝(3cosB,3sinB)．若a，b的夹角的弧度数为π3，则A－B＝()A.B．C．D．9.已知向量a＝(cos75°，sin75°)，b＝(cos15°，sin15°)，则|a－b|的值为()A.12B.1C.2D.310．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20aBC→＋15bCA→＋12cAB→＝0，则△ABC最小角的正弦值等于()A.45B.34C.35D.7411.已知|p|＝22，|q|＝3，p，q的夹角为π4，如图，若AB→＝5p＋2q，AC→＝p－3q，D为BC的中点，则|AD→|为()A.152B.152C.7D.1812．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝.14．已知c＝50，b＝72，C＝135°，则三角形解的个数为________．(用数字作答)15．已知△ABC内一点O满足关系2OA→＋3OB→＋5OC→＝0，则S△BOC∶S△COA∶S△AOB=16.如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA→＋PB→)·PC→的最小值是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)已知向量a与b的夹角θ为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－2b)；(3)|a＋b|．18.(12分)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinAa＝3cosCc.(1)求C的大小；(2)如果a＋b＝6，CA→·CB→＝4，求c的值.19．(12分)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积.20．(12分)如图所示，在△ABC中，AQ→＝QC→，AR→＝13AB→，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.(1)用AB→和AC→分别表示BQ→和CR→；(2)如果AI→＝AB→＋λBQ→＝AC→＋μCR→，求实数λ和μ的值；(3)确定点P在边BC上的位置．21．(12分)已知向量a＝(sinωx＋cosωx，sinωx)，向量b＝(sinωx－cosωx,23cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋1(x∈R)的图象关于直线x＝π3对称，其中常数ω∈(0,2)．(1)若x∈[0，π2]，求f(x)的值域；(2)若点A为函数f(x)图像上的动点，设且，求B点轨迹方程g(x)；（3）在（2）前提下求函数g(x)对称轴方程及单调区间。22．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，3)，点M满足OM→＝12OA→，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图所示．(1)求∠OCM的余弦值；(2)是否存在实数λ，使(OA→－λOP→)⊥CM→？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．白城一中2018-2019学年度下学期阶段考试高一数学试题参考答案一、选择题DDCACBCCBCAC二、填空题13.2314.015.2:3:516.－12三、解答题17.(10分)解(1)a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4．………………………..（3分）(2)(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16＋4－8＝12．………………………..（6分）(3)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16－8＋4＝12，∴|a＋b|＝12＝23．………..（10分）18.（12分）解(1)由正弦定理，sinAa＝3cosCc可化为sinA2RsinA＝3cosC2RsinC，………..（1分）即tanC＝3.………..（3分）又∵C∈(0，π)，∴C＝π3.………..（5分）(2)CA→·CB→＝|CA→||CB→|cosC＝abcosC＝4，………..（6分）且cosC＝cosπ3＝12.∴ab＝8.………..（8分）由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2abcosπ3＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12.∴c＝23.………..（12分）19．（12分）(1)证明∵m∥n，∴asinA＝bsinB，………..（2分）由正弦定理，得a2＝b2，∴a＝b.………..（4分）∴△ABC为等腰三角形.………..（5分）(2)解由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.………..（7分）∴a＋b＝ab.………..（8分）由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.………..（10分）∴ab＝4(ab＝－1舍去)，………..（11分）∴S△ABC＝12absinC＝12×4×sinπ3＝3.………..（12分）20．（12分）解(1)由AQ→＝12AC→，可得BQ→＝BA→＋AQ→＝－AB→＋12AC→.………..（2分）∵AR→＝13AB→，∴CR→＝CA→＋AR→＝－AC→＋13AB→.………..（3分）(2)将BQ→＝－AB→＋12AC→，CR→＝－AC→＋13AB→代入AI→＝AB→＋λBQ→＝AC→＋μCR→，则有AB→＋λ－AB→＋12AC→＝AC→＋μ－AC→＋13AB→，………..（4分）即(1－λ)AB→＋12λAC→＝13μAB→＋(1－μ)AC→，∴1－λ＝13μ，12λ＝1－μ，解得λ＝45，μ＝35.………..（6分）(3)设BP→＝mBC→，AP→＝nAI→.………..（7分）由(2)知AI→＝15AB→＋25AC→，∴BP→＝AP→－AB→＝nAI→－AB→＝n15AB→＋25AC→－AB→＝2n5·AC→＋n5－1AB→＝mBC→＝mAC→－mAB→，………..（9分）∵AB→与AC→不共线，∴－m＝n5－1，m＝2n5，解得m＝23，n＝53，………..（10分）∴BP→＝23BC→，即BPPC＝2，………..（11分）∴点P在BC的三等分点且靠近点C处．………..（12分）21．（12分）解(1)∵向量a＝(sinωx＋cosωx，sinωx)，向量b＝(sinωx－cosωx,23cosωx)，∴f(x)＝a·b＋1＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωxcosωx＋1＝3sin2ωx－cos2ωx＋1＝2sin(2ωx－π6)＋1，………..（3分）∵图象关于直线x＝π3对称，其中常数ω∈(0,2)．∴2ω·π3－π6＝kπ＋π2，k∈Z，得ω＝3k2＋1，结合ω∈(0,2)，可得ω＝1，………..（5分）∴f(x)＝2sin(2x－π6)＋1，………..（6分）∵x∈[0，π2]，∴2x－π6∈[－π6，5π6]，∴sin(2x－π6)∈[－12，1]，………..（7分）∴f(x)＝2sin(2x－π6)＋1∈[0,3]．………..（8分）(2)因为且，所以，即，代入函数f(x)＝2sin(2x－π6)＋1，得函数g(x)＝2sin2x．………..（9分）（3）对称轴方程：………..（10分）单调增区间为：………..（11分）单调减区间为：………..（12分）22．解(1)由题意，可得OA→＝(6,0)，OC→＝(1，3)，………..（1分）OM→＝12OA→＝(3,0)，CM→＝(2，－3)，CO→＝(－1，－3)．………..（3分）∴cos∠OCM＝cos〈CO→，CM→〉＝CO→·CM→|CO→||CM→|＝714………..（4分）(2)设P(t，3)，其中1≤t≤5，………..（5分）则λOP→＝(λt，3λ)，OA→－λOP→＝(6－λt，－3λ)．………..（6分）若(OA→－λOP→)⊥CM→，则(OA→－λOP→)·CM→＝0，即12－2λt＋3λ＝0，∴(2t－3)λ＝12，………..（8分）若t＝32，则λ不存在；………..（9分）若t≠32，则λ＝122t－3.∵t∈1，32∪32，5.∴λ∈(－∞，－12]∪127，＋∞.………..（11分）即满足条件的实数λ存在，实数λ的取值范围为(－∞，－12]∪127，＋∞.………..（12分）