切比雪夫求积公式

14.5高斯求积公式24.5.1一般理论求积公式nkkkbaxfAdxxf0)()(含有个待定参数22n).,,1,0(,nkAxkk当为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为次.kxn如果适当选取有可能使求积公式具有次代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式.),,,1,0(nkxk12n3为具有一般性，研究带权积分,)()(badxxxfI这里为权函数，)(x类似(1.3)，求积公式为,)()()(0nkkkbaxfAdxxxf（5.1）为不依赖于的求积系数.),,1,0(nkAk)(xf使（5.1）具有次代数精度.12n),,1,0(nkxk为求积节点，,),,1,0(nkkkAx及可适当选取定义4如果求积公式(5.1)具有次代数精度，12n则称其节点为高斯点，相应公式(5.1)称为高斯求积公式.),,1,0(nkxk4根据定义要使(5.1)具有次代数精度，只要对12n),12,,1,0(,)(nmxxfm.12,,1,0)(0nmdxxxxAnkbammkk（5.2）当给定权函数，求出右端积分，则可由(5.2)解得)(x).,,1,0(nkAxkk及令(5.1)精确成立，即5例5).()()(110010xfAxfAdxxfx（5.3）解令公式(5.3)对于准确成立，32,,,1)(xxxxf;3210AA试构造下列积分的高斯求积公式：得;520000AxAx;72121020AxAx（5.4）.92131030AxAx6由于,)()(1011001100AxxAAxAxAx利用(5.4)的第1式，可将第2式化为.52)(321010Axxx同样地，利用第2式化第3式，利用第3式化第4式，分别得;72)(5211010Axxxx从上面三个式子消去有,)(101Axx.92)(72121010Axxxx7.92)5272(72;72)3252(52100100xxxxxx进一步整理得.9252)(72;7232)(5210101010xxxxxxxx由此解出,910,2151010xxxx从而8.277556.0,389111.0;289949.0,821162.01010AAxx这样，形如(5.3)的高斯公式是)821162.0(389111.0)(10fdxxfx).289949.0(277556.0f由于非线性方程组(5.2)较复杂，通常就很难求解.2n故一般不通过解方程(5.2)求，),,1,0(nkAxkk及而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.9定理5bxxxan10是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101nnxxxxxxx与任何次数不超过的多项式带权正交，n)(xP)(x.0)()()(1bandxxxxP（5.5）证明即插值型求积公式(5.1)的节点必要性.,H)(nxP设,H)()(121nnxxP则10nxxx,,,10是高斯点，因此，如果精确成立，)()()(1xxPxfn.)()()()()(011nkknkkbanxxPAdxxxxP因),,,1,0(0)(1nkxkn即有故(5.5)成立.则求积公式(5.1)对于充分性.用除，)(1xn)(xf记商为，)(xP余式为，)(xq即,)()()()(1xqxxPxfn其中.nxqxPH)(),(,H)(12nxf对于由(5.5)可得.)()()()(babadxxxqdxxxf（5.6）11由于求积公式(5.1)是插值型的，它对于是精确的，nxqH)(.)()()(0nkkkbaxqAdxxxq即再注意到),,,1,0(0)(1nkxkn),,,1,0()()(nkxfxqkk知从而由(5.6)有babadxxxqdxxxf)()()()(.)(0nkkkxfA12可见求积公式(5.1)对一切次数不超过的多项式均精确成立.因此，为高斯点.12n),,1,0(nkxk定理表明在上带权的次正交多项式的零点就是求积公式(5.1)的高斯点.],[ba)(x1n有了求积节点，再利用),,1,0(nkxknkbammkkdxxxxA0)(对成立，nm,,1,0的线性方程.).,,1,0(nkAk解此方程则得nAAA,,,10则得到一组关于求积系数13下面讨论高斯求积公式(5.1)的余项.利用在节点的埃尔米特插值)(xf),,1,0(nkxk,12nH.,,1,0),()(),()(1212nkxfxHxfxHkknkkn于是)()!22()()(21)22(12xnfHxfnnn也可直接由的插值多项式求出求积系数nxxx,,,10).,,1,0(nkAk即14两端乘，并由到积分，则得)(xab].[)()()()(12fRdxxxHdxxxfInbanba（5.7）其中右端第一项积分对次多项式精确成立，故12nnkkknxfAIfR0)(][由于,0)()(21xxn.)()()!22()(][21)22(bannndxxxnffR（5.8）.)()()!22()(21)22(banndxxxnf由积分中值定理得(5.1)的余项为关于高斯求积公式的稳定性与收敛性，有：15定理6),,1,0(nkAk证明,)(0nkjjjkjkxxxxxl它是次多项式，n因而是次多项式，)(2xlkn2.)()()(0022niikibakxlAdxxxl注意到,)(kiikxl高斯求积公式(5.1)的求积系数全是正的.考察故高斯求积公式(5.1)对于它能准确成立，即有,kA上式右端实际上即等于从而有16由本定理及定理2，则得推论定理7.)()()(lim0bankkkndxxxfxfA.0)()(2bakkdxxxlA定理得证.高斯求积公式(5.1)是稳定的.],,[)(baCxf设即则高斯求积公式(5.1)收敛，174.5.2高斯-勒让德求积公式在高斯求积公式(5.1)中，],1,1[由于勒让德多项式是区间上的正交多项式，因此，]1,1[勒让德多项式的零点就是求积公式(5.9)的高斯点.)(1xPn形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式.区间为则得公式,1)(x若取权函数.)()(011nkkkxfAdxxf（5.9）18).0()(011fAdxxf令它对准确成立，即可定出1)(xf.20A这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式为),0(21)(11fdxxf是中矩形公式.若取的零点做节点构造求积公式xxP)(100x再取的两个零点构造求积公式)13(21)(22xxP31),31()31()(1011fAfAdxxf19令它对都准确成立，有xxf,1)(.03131;21010AAAA由此解出,110AA).31()31()(11ffdxxf三点高斯-勒让德公式的形式是).515(95)0(98)515(95)(11fffdxxf表4-7列出高斯-勒让德求积公式(5.9)的节点和系数.从而得到两点高斯-勒让德求积公式2056888890478628702369269000000000538469309061798046521452034785480339981008611363038888889055555560000000007745967020000000157735030100000002000000000..................Axnkk表4-721由(5.8)式，],1,1[)(~)!22()(][1121)22(dxxPnffRnnn这里是最高项系数为1的勒让德多项式.)(~1xPn由第3章(2.6)及(2.7)].)1[()!2(!)(~2nnnnxdxdnnxP.122;,0)()(11nmnnmdxxPxPmn公式(5.9)的余项22得).1,1()(])!22)[(32(])!1[(2][)22(3432nnnfnnnfR（5.10）当时，有1n).(1351][)4(1ffR它比区间上辛普森公式的余项]1,1[)(901][)4(1ffR还小，且比辛普森公式少算一个函数值.当积分区间不是，而是一般的区间时，]1,1[],[ba只要做变换23,22batabx可将化为,],[ba]1,1[.222)(11dtbatabfabdxxfba（5.10）对等式右端的积分即可使用高斯-勒让德求积公式.这时24例6用4点()的高斯-勒让德求积公式计算3n.cos2π02xdxxI解先将区间化为，]2π,0[]1,1[1123.)1(4πcos)1(4πdtttI根据表4-7中的节点及系数值可求得3n.)467401.0(.467402.0)(30IxfAIkkk准确值由(5.11)有254.5.3高斯-切比雪夫求积公式若且取权函数,1,1ba,11)(2xx则所建立的高斯公式为.)(1)(0112nkkkxfAdxxxf（5.12）称为高斯-切比雪夫求积公式.26由于区间上关于权函数的正交多项式是]1,1[211x切比雪夫多项式，因此求积公式(5.12)的高斯点是次1n切比雪夫多项式的零点，即为),,1,0(π2212cosnknkxk(5.12)的系数使用时将个节点公式改为,1πnAk1nnnkkxfndxxxf1112),(π1)(个节点，（5.13）π2)12(cosnkxk于是高斯-切比雪夫求积公式写成27由(5.9)，余项)()!2(2π2][)2(2nnfnfR带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分.（5.14）).1,1(28例7用5点()的高斯-切比雪夫求积公式计算积分5n.1e112dxxIx解当时由公式(5.13)5n51πcos1012e5πkkI由(5.14)式，误差e!102π][9fR,e)(,e)()2(xnxxfxf这里可得.977463.3.106.49294.6数值微分数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值.304.6.1中点方法与误差分析按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式,)()()(hafhafaf其中为一增量，称为步长.h,)()()(hhafafaf（6.1）.2)()()(hhafhafaf31后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种方法的算术平均.但它的误差阶却由提高到)(hO).(2hO较为常用的是中点公式.为利用中点公式hhafhafhG2)()()(计算导数的近似值，首先必须选取合适的步长，为此需要进行误差分析.分别将在处做泰勒展开有)(hafax32)(!5)(!4)(!3)(!2)()()()5(5)4(432afhafhafhafhafhafhaf代入中点公式得)(!5)(!3)()()5(42afhafhafhG从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确.其中.)(maxx