分类与分步解题技巧

No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引1．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题．2．会根据实际问题合理分类或分步.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引1．应用两个计数原理解决实际问题．(重点)2．合理分类或分步．(难点)3．涂色问题中的讨论．(易混点)No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引家电下乡政策是国家深入贯彻落实科学发展观、积极扩大内需的重要举措，是财政和贸易政策的创新突破．家电下乡政策实施以来，给广大农民带来了很大实惠，在外打工的小王要给家在农村的父母买一台冰箱和洗衣机，现有5种型号的冰箱和3种型号的洗衣机，那么小王共有多少购买方案？No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引1．两个计数原理在解决计数问题中的方法No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引2．应用两个计数原理应注意的问题(1)分类要做到“”，分类后再对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“”——完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．不重不漏步骤完整No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引1．由数字1,2,3,4,5,6可以组成没有重复数字的两位数的个数是()A．11B．12C．30D．36解析：个位数字有6种选法，十位数字有5种选法，由分步乘法计数原理知，可组成6×5＝30个无重复数字的两位数．答案：CNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引2.如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()A．96B．84C．60D．48解析：方法一：先种A地有4种，再种B地有3种，若C地与A地种相同的花，则C地有1种，D地有3种；若C地与A地种不同花，则C地有2种，D地有2种，即不同种法总数为N＝4×3×(1×3＋2×2)＝84种．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引方法二：若种4种花有4×3×2×1＝24种；若种3种花，则A和C或B和D相同，有2×4×3×2＝48种；若种2种花，则A和C相同且B和D相同，有4×3＝12种．共有N＝24＋48＋12＝84种．答案：BNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引3．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有________种．解析：如下图：同理，甲传给丙也可以推出5种情况，综上有10种传法．答案：10No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引4．同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人写的贺年卡，求4张贺年卡不同的分配方式有多少种？解析：方法一：对4人分别编1,2,3,4四个号，对四张贺年卡也编上1,2,3,4四个号，那么1,2,3,4四个数字填入1,2,3,4四个方格的一个填法对应贺卡的一个送法，原题转化为上面所述方格的编号与所填数字的不同的填法种数问题．首先，在1号方格里填数，可填上2,3,4中的任意一个数，有3种填法；其次，当在第1号方格填数i之后(2≤i≤4)，在第i号方格中填上合乎要求的数，有3种填法；最后，将剩下的两个数，填到空着的方格里，只有1种填法合乎要求(因为这两个数中，至少有一个数与空的方格序号相同)．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引根据分步乘法计数原理，不同的分配方式共有3×3×1＝9种．方法二：21—4—33—4—14—1—331—4—241—22—141—2—331—22—1共9种.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的(1)四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？四位密码的首位可为0，四位数的首位不能为0，四位奇数的首位不为0且个位必须为奇数．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引[解题过程](1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2＝120个．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1,2,3,4这4个数字中选一个数字作千位数字，共4种不同的选取方法，第二步从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共4个数字选一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96个．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1、3中任取一个有两种方法，第二步定首位，把1、2、3、4中除去用过的一个还有3个可任取一个有3种方法，第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理共有2×3×3×2＝36个．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引[题后感悟](1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引1.8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解析：先排放百位从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6＝294(个)不同的三位数．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少种不同的涂色方案？No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引由题目可获取以下主要信息：①用五种不同的颜色给四个区域涂色；②相邻区域不能涂同种颜色；③不相邻区域可以涂同种颜色．解答本题可先给各个区域标上记号，从不相邻区域是否着相同颜色进行分类、分步解决．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引[解题过程]先分为两类：第一类，当D与A不同色，则可分为四步完成．第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三步涂C有3种方法，第四步涂D有2种涂法，由分步乘法计数原理，共有5×4×3×2＝120种方法．第二类，当D与A同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三步涂C有3种方法，由分步乘法计数原理共有5×4×3＝60(种)，所以共有120＋60＝180种不同的方案．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引[题后感悟]染色问题是考查计数方法的一种常见问题，由于这类问题常常涉及分类与分步，所以在高考题中经常出现，处理这类问题的关键是要找准分类标准，像本题中A、D颜色是否相同对其他区域的涂色有影响．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引2.如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引解析：按地图A、B、C、D四个区域依次涂色，分四步完成：第一步，涂A区域，有3种选择；第二步，涂B区域，有2种选择；第三步，涂C区域，由于它与A、B区域不同，有1种选择；第四步，涂D区域，由于它与B、C区域不同，有1种选择．所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方案种数共有3×2×1×1＝6(种)．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引3.用红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引解析：给各区域标记号A、B、C、D、E，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，则只有一种.因此应先分类后分步．第一类，B、D涂同色时，有4×3×2×1×2＝48种，第二类，当B、D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种，故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引由题目可获取以下主要信息：①从四种蔬菜品种选出3种分别种在不同土质的三块土地上；②黄瓜必须种植．解答此题可考虑以黄瓜所种植的土地分类求解或用间接法求解．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引[解题过程]方法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6种．故不同的种植方法共有6×3＝18种．方法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24种，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种，故共有不同种植方法24－6＝18种．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引[题后感悟]对于同一个事件的处理，往往可以采用不同的处理方法，从而得到不同的解法，但结果肯定是相同的，用这种方法可以起到很好的检验效果．按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证你提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第一章计算原理栏目导引4.如图，用6种不同的作物把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能种植同一种作物，则不同