分类加法与分类乘法计数原理

问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？问题2：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室的一个座位编号：例如“A”“B”,“0”,“1”等，总共能编出多少种不同的号码？课题导入问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？问题2：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室的一个座位编号：例如“A”“B”,“0”,“1”等，总共能编出多少种不同的号码？甲乙火车1火车2火车3汽车1汽车2从甲地到乙地，有2类办法，第1类办法乘火车，有3种不同的走法，第2类办法乘汽车，有2种不同的走法，那么从甲地到乙地共有3+2=5种不同的走法。给座位编号，有2类办法，第1类办法是用一个大写的英文字母，有26种不同编法，第2类办法是用一个阿拉伯数字，有10种编法，故给一个座位编号一共有26+10=36种不同的方法。你能根据以上两个问题的共同特征，概括出解决此类问题的一般规律么？一、分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有_________种不同的方法.N＝m＋n推广1完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同方法，在第2类方案中有m2种不同方法……第n类方案中有mn种不同方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同方法.在上述问题1中，若从甲地到乙地还可以坐轮船，且一天中有4班轮船，又有多少种不同的乘坐方式呢？例1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？生物学数学变式：若数学也是A大学的强项专业.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？注意：①想清楚要“完成一件事”是什么?完成什么事？②分类要不重不漏.问题3：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？甲乙丙火车3火车2火车1汽车1汽车2从甲地到乙地，需要分成2个步骤，第1步从甲地到丙地有3种不同的走法，第2步从丙地到乙地有2种不同的走法，那么从甲地到乙地共有3×2=6种不同的走法。问题4：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字给教室的座位编号：例如“A1”“B2”等，总共能编出多少种不同的号码？给座位编号，需要分成2个步骤，第1步是选一个大写的英文字母，有6种不同选法，第2步是选一个阿拉伯数字，有9种选法，故给座位编号一共有6×9=54种不同的方法。字母数字得到的号码A12345678A1A2A3A4A5A6A7A8A99树形图你能根据以上两个问题的共同特征，类比分类加法计数原理，概括出解决此类计数问题的一般规律么？二、分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法．那么完成这件事共有_________种不同的方法.N＝m×n完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同方法，做第2步有m2种不同方法……做第n步有mn种不同方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同方法.推广2：在上述问题3中，若还需要从丙地坐轮船到丁地，然后再去乙地，且一天中有4班轮船，又有多少种不同的乘坐方式呢？例2：设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？第1步：从30名男生中选出1人，有30种不同选择第2步：从24名女生中选出1人，有24种不同选择根据分步乘法计数原理，共有30×24＝720种不同的选法分析：完成哪一件事？解：完成从男、女生中各选一人参加比赛这件事，需要分2步注意：分步时步骤一定要完整.例3：现有高二年级四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人，8人，9人，10人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一人为组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人为中心发言人，且这两人必须来自不同的班级，有多少种不同的选法？例3：现有高二年级四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人，8人，9人，10人，他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？解析：(1)完成从四个班学生中任选一人为负责人这件事，共有4类办法，第1类：从一班学生中任选一人，共有m1=7种不同的方法；第2类：从二班学生中任选一人，共有m2=8种不同的方法；第3类：从三班学生中任选一人，共有m3=9种不同的方法；第4类：从四班学生中任选一人，共有m4=10种不同的方法；所以,根据分类计数原理，得到不同选法种数共有N=7+8+9+10=34种。典例分析明确要完成什么事情思考如何完成这件事将每一类的方法数相加得出结果判断分类还是分步将每一步的方法数相乘得出结果分步分类先分类还是先分步类类相加，步步相乘得最终结果技法点拨现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同种类的选法？现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同种类的选法？分析(1)：完成选一幅画这件事，分为3类：第1类：从国画中选一幅，有5种不同选法；第2类：从油画中选一幅，有2种不同选法；第3类：从水彩画中选一幅，有7种不同的选法.所以，由分类加法计数原理，共有N=5+2+7=14种不同选法.注意：对于综合问题应分清楚是先分类还是先分步.变式训练两种计数原理的异同点分类加法计数原理分步乘法计数原理共同点研究完成一件事情，共有多少种不同方法分类，类类相加分步，步步相乘任何一类当中的每一种方法都能独立完成这件事情。任何一步当中的每一种方法都不能独立完成这件事情。（只有完成了每个步骤，才能完成这件事情。）不同点注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整课堂小结课后练习2、(如图)该电路从A到B接通时共有多少条不同的线路可通电？AB1、课本P6练习1，练习23.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地例4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地解：先分两类，第一类：从甲地经过乙地到丙地有m1=2×3种不同走法；第二类：从甲地经过丁地到丙地有m2=4×2种不同走法；所以根据计数原理，得到不同的走法种数共有N=2×3+4×2=14种。4.在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？解：分四类求解：(1)从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；(2)从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；(3)从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法；(4)从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，剩下的一名参加围棋比赛，有2×1＝2种选法．根据分类加法计数原理，一共有6＋6＋4＋2＝18种不同的选法．