中档大题规范练(解三角形)

中档大题规范练1.三角函数与解三角形1.(2017·河南百校联盟质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，cosAsinB＋(c－sinA)·cos(A＋C)＝0.(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积为32，求sinA＋sinC的值.解(1)由cosAsinB＋(c－sinA)cos(A＋C)＝0，得cosAsinB－(c－sinA)cosB＝0，即sin(A＋B)＝ccosB，sinC＝ccosB，sinCc＝cosB，因为sinCc＝sinBb，所以sinB3＝cosB，即tanB＝3，又0＜B＜π，所以B＝π3.(2)由S＝12acsinB＝32，得ac＝2，由b＝3及余弦定理得(3)2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，所以a＋c＝3，所以sinA＋sinC＝sinBb(a＋c)＝32.2.(2017·江西九江联考)已知函数f(x)＝msin2x－cos2x－12，x∈R，若tanα＝23，且f(α)＝－326.(1)求实数m的值及函数f(x)的最小正周期；(2)求实数f(x)在[0，π]上的递增区间.解(1)f(α)＝msin2α－12cos2α－1＝m·2tanα1＋tan2α－12·1－tan2α1＋tan2α－1＝43m13－－1126－1，又因为f(α)＝－326，所以43m13－－1126－1＝－326，即m＝32.故f(x)＝32sin2x－12cos2x－1＝sin2x－π6－1，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)f(x)的递增区间是2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z，所以kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈Z，所以在[0，π]上的递增区间是0，π3，5π6，π.3.(2017届河北石家庄二中联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b－12c＝acosC.(1)求角A；(2)若4(b＋c)＝3bc，a＝23，求△ABC的面积S.解(1)由正弦定理得sinB－12sinC＝sinAcosC，又因为sinB＝sin(A＋C)，所以sin(A＋C)－12sinC＝sinAcosC，即cosAsinC＝12sinC，又因为sinC≠0，所以cosA＝12，又A是三角形的内角，所以A＝60°.(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，所以(b＋c)2－4(b＋c)＝12，得b＋c＝6，所以bc＝8，所以S＝12bcsinA＝12×8×32＝23.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A，B，C的度数成等差数列，b＝13.(1)若3sinC＝4sinA，求c的值；(2)求a＋c的最大值.解(1)由角A，B，C的度数成等差数列，得2B＝A＋C.又A＋B＋C＝π，所以B＝π3.由正弦定理，得3c＝4a，即a＝3c4.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，即13＝3c42＋c2－2×3c4×c×12，解得c＝4.(2)由正弦定理，得asinA＝csinC＝bsinB＝1332＝2133，所以a＝2133sinA，c＝2133sinC.所以a＋c＝2133(sinA＋sinC)＝2133[sinA＋sin(A＋B)]＝2133sinA＋sinA＋π3＝213332sinA＋32cosA＝213sinA＋π6.由0＜A＜2π3，得π6＜A＋π6＜5π6.所以当A＋π6＝π2，即A＝π3时，(a＋c)max＝213.5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝()cosA，cosB，n＝()a，2c－b，且m∥n.(1)求角A的大小；(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值.解(1)∵m∥n，∴acosB－()2c－bcosA＝0，由正弦定理得sinAcosB－()2sinC－sinBcosA＝0，∴sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，∴sin(A＋B)＝2sinCcosA，由A＋B＋C＝π，得sinC＝2sinCcosA由于0＜C＜π，因此sinC0，∴cosA＝12，由于0＜A＜π，∴A＝π3.(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴16＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，∴bc≤16，当且仅当b＝c＝4时，等号成立，∴△ABC面积S＝12bcsinA≤43，∴△ABC面积的最大值为43.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC＋c＝2a.(1)求角B的大小；(2)若BD为AC边上的中线，cosA＝17，BD＝1292，求△ABC的面积.解(1)2bcosC＋c＝2a，由正弦定理，得2sinBcosC＋sinC＝2sinA，∵A＋B＋C＝π，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴2sinBcosC＋sinC＝2(sinBcosC＋cosBsinC)，∴sinC＝2cosBsinC，∵0＜C＜π，∴sinC≠0，∴cosB＝12.又∵0＜B＜π，∴B＝π3.(2)在△ABD中，由余弦定理得12922＝c2＋b22－2c·b2cosA，∴1294＝c2＋b24－17bc，①在△ABC中，由正弦定理得csinC＝bsinB，由已知得sinA＝437.∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝5314，∴c＝57b，②由①②解得b＝7，c＝5，∴S△ABC＝12bcsinA＝103.