三阶幻方的N种构造方法

三阶幻方的N种构造方法说起幻方，许多人见惯不怪了。最简单的莫过于三阶幻方或者说四阶幻方，三阶幻方是由1到9这9个数填进3×3的九宫图中，使每行，每列和对角线的三个数之和相等（3阶，幻和为15）。三阶幻方最早起源于我国，古代人们将三阶幻方称之为“河图”和“洛书”我国宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。好了，其他的不多说了，让我们直奔主题吧。第一种：变形法将1~9数依顺序填入下框；2和6对调，4和6对调；将2、4、6、8向四个角外移。这样就快速完成3阶幻方了。第二种：楼梯法在第一行的中间填上1.，然后依次在“右上角”填上2（下一个数），再在2的“右上角”（相对的）填上3，依次类推。当遇到“右上角”已经有数的时候，就填在原地的下一个格，再运用楼梯法继续填，知道填到最后一个数。由于3的右上角已经有数了，所以4要填在3的下一个格。再填5在4的右上角，就这样以此类推。就这样就完成了。还有，这种方法适用于所有的奇数幻方。第三种：推理法①1～9个数填入九宫图，容易推出幻和为15，而用1～9个数有以下的算式组合。1+5+9=152+5+8=153+5+7=154+5+6=152+6+7=152+5+8=152+4+9=154+3+8=158+1+6=15观察上面9条算式容易知道，5出现了4次，1、3、7、9出现了2次，2、4、6、8出现了3次。再回来想想九宫格的位置特性，中间的格一定要满足4条算式（中间行，中间列，2对角线）成立，故中间应该填的是5；四个角的格也要各满足3条算式成立，故四个角的格应该填的是2、4、6、8。（其实不用下面步骤都可以构造出来了，因为幻和为15，可以推算出。）同理，1、3、7、9应该填在前行前列的中间。这样的话，就很容易构造出3阶幻方。所以得出的3阶幻方如下：第四种：推理法②前提条件：已知幻和=15，中间是5。分析：三个数构成幻和为15的等式，这三个数必定是“3个奇数”或者“2个偶数和一个奇数”。我们知道5在中间，假设①位置填的是奇数，则⑨位置也是奇数。现在在这个条件下来确定⑦的位置的数的奇偶性：当⑦为奇数时，则会出现③、④、⑧甚至②、⑥位置均为奇数，这与除5外的奇数只有4个矛盾。当⑦为偶数时，则④、⑧、②、⑥甚至③也为偶数，这与只有4个偶数矛盾。所以①位置不能填奇数，只能填偶数。（其实不单是①位置，由于刚才的假设是随机性的，即①位置也可能是③、⑦、⑨的四个角的方格位置。所以就很容易算出剩下的步骤。第五种：推理法③和第四种方法基本相似吧，但是更简单。前提条件：已知幻和=15，中间是5。分析：三个数构成幻和为15的等式，这三个数必定是“3个奇数”或者“2个偶数和一个奇数”。假设①位置为奇数，则⑨位置也为奇数。可是，填下一个奇数时，都会推算出产生剩下的数都是奇数的情况。例如：当②为奇数时，⑧为奇数，③为奇数，⑥为奇数，⑦为奇数，④为奇数。当③为奇数时，②为奇数，⑦为奇数，⑧为奇数，⑥为奇数，④为奇数。所以，①位置不能填奇数，只能填偶数。第六种：方程法直接在九宫格构造方程，用字母a、b、c就可以设定。构成的3阶幻方的幻和为3a。由于各个算式得数范围只能在1～9之间。则令a=5，由于a+b和a-b算式得数范围在1～9，故b取值只能是：1、2、3、4。当b=1时，对于第一行，a+b=6；a-b+c=4+c；a-c=5-c以此为条件，c只能取3或4。因为取1和2时有数重复。当c=3时，推出的结果成立。当c=4时，①：对于第一行，a+b=6；a-b+c=8；a-c=1，推出后面的结果不成立。②：对于a-b-c=0，a+b+c=10也不满足。所以，a=5，b=1，c=3成立。第七种：负数法由“化零幻方”可以推出三阶幻方。当然，肯定还另外有一些方法，掌握了这些方法不但培养我们对幻方的兴趣，还会对我们以后深入研究高阶幻方打好基础，即使，以上的方法有些是很简单的，但是，可不要忽视它的重要思想！这仅仅只是开始。摘自：童真白马的博客分类——幻方世界》》欢迎光临《《