高中数学必修一必知识、方法清单

高中数学必修一知识、方法清单编辑：王刚时间：2012-11第1页第一章集合与函数概念1.1集合1.集合（1）集合的概念：（2）集合中元素的特征：（3）集合按元素个数多少分为：（4）集合的表示方法：（5）集合与元素的关系：（6）常用数集及其记法：数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合的关系（1）子集、真子集与集合相等的概念：关系定义记法子集A中任意一元素均为B中的元素真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中的元素集合相等集合A与B的所有元素都（2）空集的概念：空集的性质：①；②思考：空集与集合{0}有什么区别？（3）集合的性质：①（反身性）；②（传递性）（4）若有限集合A中含有n个元素，则集合A的子集个数为、真子集个数为、非空子集个数为、非空真子集个数为3．集合的运算：集合的并集集合的交集集合的补集定义图形表示性质①②③④⑤①②③④⑤①②③④；高中数学必修一知识、方法清单编辑：王刚时间：2012-11第2页提醒：1.掌握集合的概念的关键是把握集合中元素的三个特性.要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对计算结果加以检验，以确保结果的正确性。2.明确集合元素的意义，这是怎样类型的对象(如数、点、方程、图形等).并弄清一个集合由哪些元素所组成的。3．判断集合与集合的关系，基本方法是归纳为判断元素与集合的关系。4．要特别注意是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集在解题中的应用.5.在进行集合运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图等工具使问题直观化，并会运用分类讨论、数形结合等方法，使运算更加直观，简洁.1.2函数及其表示1.函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A、B是两个非空设A、B是两个非空对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的一个数x，在集合B中都有的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的一个元素x，在集合B中都有的元素y与之对应思考：映射与函数有什么区别？2.构成函数概念的三要素：、和。在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做，叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做，叫做函数的值域.研究函数必须遵循“”的原则。3.函数相等：如果两个函数的和完全一致，则这两个函数相等.4.函数的表示方法及特点：表示方法优点缺点5.求函数解析式的常用方法：提醒：（1）函数的解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要说明函数的定义域.（2）在使用换元法时要给出新元的取值范围。6.画函数图象的常用方法：和图象变换法描点法：画函数图象通常有列表、描点、连线三个步骤.用描点法作图在选点时通常选特殊点，如最值点、图象与x轴的交点等.有时要考虑利用函数的性质：如单调性、奇偶性等，以便于简便准确的画出函数的图象.高中数学必修一知识、方法清单编辑：王刚时间：2012-11第3页图象变换法：（1）平移变换（2）对称变换7.分段函数的概念：分段函数是指自变量x在不同取值范围内对应关系不同的函数。提醒：①分段函数的解析式虽然由几部分构成，但它表示的是一个函数.②研究与分段函数有关的问题注意分类讨论要求：①会画分段函数图象；②会求分段函数解析式、定义域、值域；③会解分段函数方程与不等式；④会判断分段函数的单调性、最值与奇偶性。1.3函数的基本性质1．函数单调性的定义及几何意义：增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量1x，2x当1x＜2x时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当1x＜2x时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数几何意义自左向右看图象是自左向右看图象是若函数y＝f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做y＝f(x)的单调区间.单调性定义的等价形式：设2121,,xxbaxx，那么1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.高中数学必修一知识、方法清单编辑：王刚时间：2012-11第4页2．利用定义证明函数在给定的区间上的单调性的一般步骤：①②③④3.函数最大（小）值定义及几何意义：4.求函数最值与值域的常用方法：（1）图象法（2）单调性法（3）配方法（4）分离常数法（5）直接法（6）有界性法提醒：函数的值域由函数的定义域和对应关系确定，所以求最值和值域时要先判断定义域。5．函数的奇偶性的定义及几何意义：思考：（1）奇偶函数的定义域有何特点？（2）是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？6．判断函数奇偶性的方法：①②提醒：分段函数的奇偶性判定，应分段讨论。此类问题也可利用图象作判断。7．奇偶函数的性质：（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性（2）若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝.8.利用奇偶性求函数解析式的方法：①②9.利用数形结合讨论二次函数的“轴动区间定”与“轴定区间动”问题10.恒成立问题的解决思路几何意义函数图象的点的坐标几何意义函数图象的点的坐标高中数学必修一知识、方法清单编辑：王刚时间：2012-11第5页第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数1、根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果，那么x叫做a的n次方根。——n＞1且n∈N*当n为奇数时，正数的奇次方根是一个，负数的奇次方根是一个。零的奇次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有，它们互为①零的偶次方根是零②负数没有偶次方根（2）根式的两个重要公式2、幂的有关概念（1）正分数指数幂的意义：；（2）负分数指数幂的意义：；（3）0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂.提醒：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算.3、指数幂的运算性质：（1）（2）（3）4、指数函数的定义：一般地，我们把函数（）叫做指数函数。5、指数函数的图象和性质：xay10a1a图象共性定义域值域单调性个性（1）（2）（3）（4）指数幂的化简与求值的原则：(1)化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数；(4)能化为幂的数化为幂运算。高中数学必修一知识、方法清单编辑：王刚时间：2012-11第6页2.2对数函数1、对数的定义：如果()，那么数x叫做以a为底N的对数，记作.对数式与指数式的互化xNalogNax对数式指数式对数底数←a→幂底数对数←x→指数真数←N→幂值两个重要对数：○1常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，N的常用对数N10log简记作Nlg；○2自然对数：以无理数e（e=2.71828…）为底的对数叫做自然对数，N的自然对数Nelog简记作Nln.2、对数的性质：（1）没有对数；（2）1logaaalog（3）对数恒等式：3、对数的运算法则：如果0,0,1,0NMaa，那么（1）（2）（3）4、换底公式：（a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0）推论：①②5、对数函数的定义：一般地，我们把函数（）叫做对数函数。6、对数函数的图象和性质：xyalog10a1a图象共性定义域值域单调性个性（1）（2）（3）（4）切记：对数的真数大于0注意：010NRxaa且高中数学必修一知识、方法清单编辑：王刚时间：2012-11第7页7、反函数：指数函数xay(a＞0且a≠1)与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称.提醒：（1）点),(ba关于直线xy对称点为),(ab；（2）若点),(ba在)(xfy图象上，则点),(ab在其反函数)(1xfy的图象上。8、比较数值大小的常用方法：①②③④9、解指数不等式与对数不等式的方法：提醒：（1）当不能判断底数与1大小时，需要分类讨论；（2）解对数不等式时勿忘真数大于0.2.3幂函数1、幂函数的定义：一般地，把函数称为幂函数，其中为自变量，为常数.提醒：（1）幂函数与指数函数区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置.（2）当0时，幂函数为)0(10xxy的图象是不包含)1,0(点的直线。2、幂函数的图象和性质：（1）所有幂函数恒过点（1,1），在第四象限均无图象，在第一象限均有图象；（2）所有幂函数在第一象限的性质：①当10时，图象恒过点（0,0）与（1,1），且在),0[上凸增；②当1时，图象恒过点（0,0）与（1,1），且在),0[上凹增；③当0时，图象恒过点（1,1），且在),0(上是减函数；④在第一象限内的图象逆时针变化，指数变大。⑤幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内图象关于直线xy对称．3、利用幂函数的性质画幂函数的图象的方法：①先利用性质作出第一象限内的图象；②再求定义域判断在其他象限有无图象；③若定义域关于原点对称，则判断奇偶性，作出剩余图象。提醒：求幂函数的定义域和奇偶性方法是先将函数式化为根式形式再判断.重要补充：1、复合函数：如果)(ufy，)(xgu，那么)]([xgfy叫做f和g的复合函数。其中)(xg为内函数，)(uf为外函数。2、复合函数单调性判断方法：“同增异减”3、4、5、高中数学必修一知识、方法清单编辑：王刚时间：2012-11第8页第三章函数的应用3.1函数与方程1、函数零点的定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.注：若实数0x是函数y＝f(x)的零点，当函数y＝f(x)在0x左右侧附近的函数值异号，则零点0x通常称为变号零点；当函数y＝f(x)在0x左右侧附近的函数值同号，则零点0x通常称为变号零点．2、函数零点与方程根的关系：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点．即：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标．3、零点的存在性质：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么，函数)(xfy在区间),(ba内有零点，即存在),(bac，使得0)(cf，这个c也就是方程0)(xf的根。思考：（1）在上面条件下，区间),(ba内有几个零点？（2）若函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间),(ba内有零点，那么一定有0)()(bfaf吗？5、二分法：对于在区间a[，]b上连续不断，且满足)(af·)(bf0的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xfy的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．6、用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤：（1）确定区间a[，]b，验证)(af·)(bf0，给定精度；（2）求区间a(，)b的中点1x；（3）计算)(1xf：○1若)(1xf=0，则1x就是函数的零点；○2若)(af·)(1xf0，则令b=1x（此时零点),(10xax）；○3若)(1xf·)(bf0，则令a=1x（此时零点),(10bxx）；（4）判断是否达到精度：若||ba，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）～（4）.（注：用二分法求函数的近似零点只能是变号零点．）3.2函数模型及其应用指数函数、对数函数和幂函数的增长速度的比较：一般地，在区间),0(上尽管函数)1(aayx，)1(logaxya和)0(nxyn都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着x的增大，)1(aayx的增长速度越来越快，会越过并远远大于)0(nxyn的增长速度；而)1(logaxya的增长速度越来越慢。因此总会存在一个0x，当0xx时，有xna