黑体辐射普朗克公式推导

1黑体普朗克公式推导1．空腔内的光波模式数在一个由边界限制的空间V内，只能存在一系列独立的具有特定波矢k的平面单色驻波。这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以k为标志。设空腔为立方体，如下图xyzyxz图1立方体空腔沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是222qznymx(1)式中m、n、q为正整数。将xxk2代入(1)式中，有xmkx则在x方向上，相邻两个光波矢量的间隔为：xxmxmkx)1(同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为：2zkykxkzyx(2)因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为Vzyxkkkzyx33(3)kxkykzk图2波矢空间在波矢空间中，处于k和kd之间的波矢k对应的点都在以原点为圆心、k为半径、kd为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为kkkkkd4d3434233(4)式中kk、kddk。根据(1)式的驻波条件，k的三个分量只能取正值，因此kd和kd之间的、可以存在于V中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以2d8d422kkkkVk(5)由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为VkkVVMk223d/2(6)3式中乘以2是因为每个光波矢量k都有两个可能的偏振方向，因此光波模式数是光波矢量数的2倍。由于2k，d2d2k，上式可以用波长形式表示，即在体积为V的空腔内，波长d间隔的光波模式数为：d84VM(7)2．黑体辐射公式黑体辐射是黑体温度T和辐射场波长的函数。可用单色能量密度来描述，其定义为：在单位体积内，波长附近的单位波长间隔中的电磁辐射能量，量纲为J•m-4。根据量子化假设和玻色-爱因斯坦统计规律，在温度T的热平衡情况下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量为1/TKhcechE(8)因此单色能量密度为118d/5TKhcehcEVM(9)即如在空腔上有一单位面积的开口，则在单位时间，半球空间辐射到此单位面积的能量为4c附录1。按照(9)式，从黑体腔上的开口向半球空间辐射出的单色能量为1124/52TKhcehccP(10)这就是温度T的黑体的光谱辐出度公式。附录1对于作用在如图1的空腔表面的驻波，设垂直于面积A，且立体角为d的方向上，光通量（单位时间通过的波的能量）为I和-I，如图3。4AI-IdP图3设光速为c，光运动单位距离的时间为1/c，则在立体角内的光能密度（单位体积的光能量）P为cAIP2(1)在谐振腔内，光辐射强度是各向同性的，因此对与面积A法线夹角为的入射光，光通量仍为I，而该方向的通量为coscosIAAII(2)因此在整个2半球空间，一个小面积上通过的光通量如图4ddddrdsinr图4作用在一个小面积上的所有方向的光辐射则在面积A上的总光通量为5IIM202/0ddsincos将(1)代入有PcAIM2(3)因为腔内各方向的辐射是均匀分布的，所以任意方向立体角d的能量密度P与腔内的总能量密度的关系为2P(4)代入(3)得4cAM(5)即如在空腔上有一开口，则在单位时间，单位面积辐射到半球空间的能量为4c。