2016.相似解题技巧

研发部1初中数学研发与培训中心这些年我们一起追过的“相似”我们除了边和角，还有哪些方法可以追出“相似”，本节内容作者独到相似六法，包罗相似万象，可谓六法到手，“相似”不愁！Duang~~~一、“平行出相似”（即相似字型与型相似）快速找出模型找到相似，好easy，妈妈再也不用担心我的学习了！例1、如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，（1）写出图中的相似三角形；（2）若AB=2，CD=3，则GH的长例2、（1）问题背景：如图1，△ABC中，DE‖BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF‖AB交BC于点F．请按图示数据填空：四边形DBFE的面积S=，△EFC的面积S1=，△ADE的面积S2=．（2）探究发现：在（1）中，若BF=a，FC=b，DE与BC间的距离为h．请证明S2=4S1S2．（3）拓展迁移：如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．二、“等角公共角相似”宝宝学会这个方法整个人都萌萌哒。例3、如图，已知P为AOB的边OA上的一点，以P为顶点的MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且MPNAOB（为锐角）。当MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动。设OMxONyyx，()0，POM的面积为S。若sin,322OP。1S2SS解法归一：有平行时立即找相似！解法归一：有一个公共角、一对等角的两个三角形相。研发部2初中数学研发与培训中心（1）当MPN旋转30（即OPM30）时，求点N移动的距离；（2）求证：OPNPMN~；（3）写出y与x之间的关系式；（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围。三、“垂直出相似”老师单方面宣布：人丑就要多读书。孩子们，好好学习！例4、（1）如图，正方形ABCD与正方形CEFG具有公共顶点C，连结BG，DE．猜想图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，并证明你的判断。（2）如图5，将原题中正方形改为矩形，且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，(1)中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求22BEDG的值．解法归一：同角加直角和不变。研发部3初中数学研发与培训中心四、“导边比得相似”学生：“老师，总结了这么多方法，你们老师真会玩。”老师：“闭嘴，你们学生话真多，好好记方法。”例5、（1）如图所示，矩形ABCD及Rt△AEF有公共顶点A,∠EAF=900,且AD=kAB,AF=kAE,连接BE、DF.将Rt△AEF绕点A旋转,在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？请给予证明；(2)将（1）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD=∠EAF=，其他条件不变.(1)中的结论是否发生变化？如果不变，直接写出结论；如果变化，用表示出直线BE、DF形成的锐角.五、“一线三角”相似此方法广泛应用相似和全等此方法广泛应用相似和全等此方法广泛应用相似和全等必须掌握重要的事情说三遍例6、（2015•山东德州）（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．（2）探究如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用B解法归一：（1）已知夹等角的两组边，如果成比例则两三角形相似（2）已知等角但夹等角两边的比不能直接得出，需要通过另一对相似三角形来推得。说明：如下图，如果∠1=∠2=∠3，必有△ABC∽△CDB.“一线三角”是我们对下列相似形的形象叫法，三个直角是最特殊的“一线三角”。研发部4初中数学研发与培训中心请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．例7、(1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.六、“旋转出相似”学完最后一个方法，再遇到相似你就可以上天了。Soeasy~~~例7、△ABC中，AB=AC，D为BC边中点，以D为顶点作∠MDN=∠B，⑴如图⑴，当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形；⑵如图⑵,将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转,DM、DN分别交线段AC、AB于E、F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；⑶在图⑵中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积为△ABC面积的41时，求线段EF的长.解法归一：无论怎么转，相似永不变。研发部5初中数学研发与培训中心