现代控制理论的能控性和能观性分析

现代控制理论ModernControlTheory能控性和能观性分析能控性和能观性分析状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系。状态方程反映控制输入对状态的影响；输出方程反映系统输出对控制输入和状态的依赖。运动分析揭示了输入和初始状态对系统运行状况的影响问题：希望系统有期望的运行，能否通过适当的外部输入来实现呢？xuyBuAxx+=&)()()(tttDuCxy+=有两个问题：系统是否有这样的能力？如何来设计相应的控制器？前一个问题是分析，提出了能控性概念！后一个问题是设计，需要有各种设计方法！能控性是系统的一种能力，状态能控性和输出能控；卡尔曼提出了能控性概念，奠定了现代控制理论基础。作业：查阅能控性的原始文章报告文章中的原始思想3.1系统的能控性系统模型定义对系统的一个状态x0，存在某个时间段[0,T]上定义的控制信号u，使得在该控制信号的作用下，系统状态从x0转移到x(T)=0，则称状态x0是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称系统是完全能控的,也简称为能控的。有时也称矩阵对是能控的。问题：如何来判断能控性呢？BuAxx+=&),(BAxtTx0O能控性判据根据定义，能控性判断要求找到到使得闭环系统状态从初始状态转移到零状态的一个控制律。由运动分析：∫−+=TTTueeT0)(0d)()(τττBxxAA0=)(Tx()00()dTTToeeuτττ−=+∫AAxB∫−−=Tue00d)(τττBxA∑−=−=10)(nkkkeAAτατ100()()dnTkkkauτττ−==−∑∫AB()0()dTTToeeuτττ−=−∫AAxB1000()()dnTkkkauτττ−==−∑∫xAB⇒⇒⇒⇒则其中的即：如果系统能控，则线性方程组一定有解。理论上可以证明：以上结果的逆也是成立的。从而，能控性问题转化为线性方程组的可解性问题！线性方程组对所有的b有解的充分必要条件是系数矩阵A满秩。∑∫−=−=1000d)()(nkTkkuaτττBAx10nkkkβ−==∑AB0111nnβββ−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦BABABLM01][xβBAABB=−nL0()()dTkkauβτττ=−∫bAx=定理3.1.1系统完全能控的充分必要条件是能控性检验矩阵。特点：只依赖状态矩阵A和输入矩阵B，和时间长短无关是否满秩的方法：SISO：计算的行列式MIMO：计算行列式MATLAB命令：ctrb(A,B)SISO：det(ctrb(A,B))MIMO：det(ctrb(A,B)*ctrb(A,B)’)()nnc==Γ−][rank]),[(rank1BAABBBAL],[BAcΓ],[BAcΓ],[BAcΓT]),[])(,[(BABAccΓΓ例3.1.1检验由以下状态方程描述的系统的能控性：解能控性检验矩阵不是满秩的故系统不能控。uxxxx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110112121&&⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡==Γ001101101101][],[ABBBAc00011det]),[det(=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΓBAc],[BAcΓ⇒例3.1.2考虑倒立摆系统线性化状态空间模型的系数矩阵是能控性检验矩阵故系统是能控的。解释！系统的状态Mθumlymg0100000101,00010001101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦AB⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−==Γ011011101001011010][],[32BABAABBBAcdet([,])1000cΓ=≠ABT][θθ&&yy=x例3.1.4考虑能控标准型能控性检验矩阵总是非奇异的。故系统是能控的。能控标准形：能控的；特殊的结构。112230123010000101xxxxuxaaax⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&201,a⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦AB⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+−−−=Γ22122110100],[aaaacBA222121()aaa⎡⎤⎢⎥==−⎢⎥⎢⎥−+⎣⎦ABAAB⇒定理系统完全能控的充分必要条件是存在常数T0，使得n维矩阵是非奇异的。构造控制律由能控性定义得到系统的能控性。∫−−=TttcteeT0Td),0(TAABBW01T),0()(TxWBuATetct−−−=()00()()dTTTTeeτττ−=+∫AAxxBuT()T1000d(0,)TTTceeeTτττ−−−=−∫AAAxBBWx100(0,)(0,)TTcceeTT−=−AAxWWx0=定理的说明1。若系统能控，则对所有时间T，都是非奇异的2。若非奇异，则可以构造出将非零初始状态转移到零状态的控制律3。若系统能控，由（1），可在任意短时间内将非零状态转移到零状态能控格拉姆矩阵随着T的减小，减小，增加将随着T的减小而增大，消耗更大能量！控制律是一个开环控制信号。∫−−=TttcteeT0Td),0(TAABBW01T),0()(TxWBuATetct−−−=),0(TcW),0(TcW),0(TcW1(0,)cT−W01T),0()(TxWBuATetct−−−=3.1.3关于能控性的一些性质能控性判据基于状态方程的系数矩阵。问题：不同的状态空间模型表示是否有相同的能控性？定理3.1.3等价的状态空间模型具有相同的能控性。T是非奇异矩阵⇒和具有相同的秩。uBxAx+=&uDxCy+=11,,−−====ATATBTBCCTDD1[,][]nc−Γ=ABBABABL],[BAcΓ],[BAcΓ111[()]n−−−=TBTATTBTATTBL1[]n−=TBABABL[,]c=ΓTAB问题：任意一个能控系统模型是否可以等价转化为能控标准型呢？定理单输入能控系统的任意状态空间模型都能等价变换成能控标准型证明系统的状态方程系统能控要求寻找一个状态变换使得变换后的方程u=+xAxB&1[]n−=WBABABL是可逆的=xTxuBxAx+=&101210100000100,000101naaaa−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦A=TATB=TBLLMMMOMMLL⇒是能控的，故其能控性检验矩阵也是可逆矩阵。因此，要寻找的变换矩阵算法：Step1：确定系数Step2：构造矩阵对Step3：计算Step4：计算变换矩阵(),AB1[]n−=WBABABL=TWW1=−TWW1110det()nnnaaaλλλλ−−−=++++IAL(,)AB11[],[]nn−−==WBABABWBABABLL1=−TWW[,][,]ccΓ=ΓABTAB⇒优点：对一个能控系统的分析和设计，只要考虑能控标准形状态空间模型。连续系统能控性概念可以推广到离散系统问题：一个连续系统模型可以离散化，那么离散化对系统的能控性有何影响呢？系统能控性连续系统能控性概念可以推广到离散系统问题：一个连续系统模型可以离散化，那么离散化对系统的能控性有何影响呢？例3.1.7考虑由以下状态空间模型描述的连续系统检验其离散化状态空间模型的能控性。uxx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=100102ω&求矩阵指数函数利用⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++−++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−=−−−−−22222222211211111])[()(ωωωωωωssssssLssLsLtAIΦ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=ttttωωωωωωcossin)(sincos∫==TtTtee0dBHGAA,)(sincos1)(cossin)(sincos)()()1(2kuTTkTTTTkukk⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=+=+ωωωωωωωωωωxHGxx能控性检验矩阵当，以上能控性矩阵的第2行为零，故能控性检验矩阵是不满秩的。离散系统不能控的。原因：采样周期选取不合适！采样周期大，使得信息损失过多，导致性能损失采样周期小，处理复杂⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−+−−=ΓωωωωωωωωωωωωTTTTTTTTHGcsincossin2sinsincoscoscos1],[2222ωπkT=L,2,1=k3.1.4输出能控性控制输入影响输出的能力－－输出能控性。若对任意的初始输出y0，存在某个时间段[0,T]上定义的控制信号u，使得在该控制作用下，系统的输出从初始输出y0转移到任意给定的最终输出y(T)，则系统称为是输出完全能控的，简称输出能控。检验条件：矩阵的秩等于该矩阵的行数。⎩⎨⎧+=+=DuCxyBuAxx&][12DBCABCACABCB−nL例3.1.8判断以下系统的状态和输出能控性系统的状态能控性矩阵故系统不是状态完全能控的。输出能控性矩阵显然它是行满秩的，故输出能控。结论：系统输出能控，但不是状态能控的。即使系统状态能控，也可能输出不能控。[]xxx01112110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=yu&[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−==Γ1111],[ABBBAc0]),[det(=ΓBAc]011[][−==DCABCBS⇒3.2系统的能观性系统状态变量未必都可以从外部观测到！1。检测手段的限制；2。一些状态变量不是物理量。问题：如何通过输入输出信息来了解系统内部的状态？xuy是否可以通过输入输出数据确定状态呢？利用状态方程，由初始状态和输入就可确定任意状态，问题：是否可由输入输出信号来确定初始状态？⇒结论：只需要考虑零输入系统！∫−+=totteetτττd)()0()()(BuxxAADuBuCxCyAA++=∫−τττd)()0()()(totteet)0(d)()()(xCDuBuCyAAttoteet=−−∫−τττ⎩⎨⎧==CxyAxx&)0()(xCyAtet=已知信号待估计量定义若以非零初始状态x0产生的输出响应恒为零，即对所有的时间t，则称状态x0是不能观的。若系统中没有不能观的状态，则系统称为是状态完全能观（简称能观），也称矩阵对是能观的。不能观状态的物理意义！在输出中反映不出初始状态。例考虑系统输出响应是不能观的。0)()(==ttCxy),(AC20,[30]01y−⎡⎤==⎢⎥−⎣⎦xxx&T]10[=x()tyte=ACx200[30]10ttee−−⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦20[30]01te−⎡⎤==⎢⎥⎣⎦问题如何给出判别状态x0能观的有效方法？引理若x0是系统的不能观状态，则证明系统，系统输出响应是若x0不能观，则对所有时间t，连续微分取t＝00=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−01xCACACnM0()0tte=≡AyCx⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===−00001020xCAxCAxCAAAAtntteeeM,==xAxyCx&0)0(xx=0()tte=AyCx⇒02010000n−=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩CAxCAxCAxM不能观的状态x0满足线性方程组系统不存在不能观状态等价于该方程组无非零解！定理系统能观的充分必要条件是能观性检验矩阵。例考虑系统检验系统的能观性：⇒系统是不能观的。nn=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−1rankCACACM[]xxx11,1102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=y&]11[=CA⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Γ1111],[CACCAo0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−01xCACACnM例考虑倒立摆系统，假定只有小车的位移可以测量，由可得系统是能观的。因此，可以通过小车的位移估计小车的速度、摆杆的偏移角和角速度。产生能观性矩阵的函数：obsv(A,C)[]xCxxBAxx0001101001100100001000010==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=+=yuu&⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Γ1000010000100001],[32CACACACCAoMθumlymgT][θθ&&yy=x不能观：非零初始状态x0产生的输出响应恒为零。能观：系统初