数学建模人口预测模型

人口预测与控制•人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一.•一些发展中国家的人口出生率过高,越来越严重地威胁着人类的正常生活,有些发达国家的自然增长率趋近于零,甚至变负,造成劳动力短缺,也是不容忽视的问题.对于我国来说,尤其为甚.建立数学模型对人口发展过程进行描述,分析和预测,并进而研究控制人口增长和老化的生育策略,已引起有关专家,官员和社会各方面的极大关注和兴趣,是数学在社会发展中的重要应用领域.我们可以建立人口的指数增长模型和阻滞增长模型(Logistic模型),但是这些模型只考虑人口总数和总•的增长率,不涉及年龄结构.但在实际上,在人口预测这人口按年龄分布状况是十分重要的,因为不同年龄人的生育率和死亡率有着很大的差别.两个国家或地区目前人口总数一样,如果一个国家或地区年青人的比例高于另一个国家或地区,那么两者人口的发展状况将大不一样.因此考虑人口按年龄的分布,除了时间是一个变量,年龄也是一个变量.•如果用连续性模型来描述它,就要用偏微分方程来描述.但在实际应用中连续模型很不方便,需要建立相应的离散模型.因为作为已知的输入数据是离散的,要得到的输出数据也是离散的,再者对连续模型求解也是非常困难的.因此我们选择建立一个离散性模型来描述,用差分方程来实现它.••人口发展方程时间以年为单位,年龄按周岁计算,设最大年龄为m岁,记为第t年i岁(满i周岁而不到i+1周岁)的人数,.只考虑由于生育,老化和死亡引起的人口演变,而不计迁移等社会因素的影响.记为第t年i岁人口的死亡率,即•于是••记为第t年i岁女性生育率,即每位女性平均生)(txi)(tbimit,,2,1,0,,2,1,0)(tdi)()1()()(1txtxtxtdiiii)1(2,1,0,1,2,1,0),())(1()1(1tmitxtdtxiii)(tbi•生育率,为育龄区间,为第t年i岁人口的女性比,则第t年的出生人数为•记为第t年婴儿死亡率,即第t年出生但未活到人口统计时刻的婴儿比例(婴儿死亡率通常较高,在人口统计和建模中一般都不能忽略),•于是],[21ii)(tki)2()()()()(21txtktbtfiiiiii)(00td)()()()(000tftxtftd)3()())(1()(000tftdtx对于i=0将(2),(3)代入(1)得:将是生育模式,用于调整育龄妇女在不同年龄时生育率的高低,满足)4()()()())(1))((1()1(210001txtktbtdtdtxiiiiii)()5()()()()(ththttbtbiiii其中分解为)7()()(:)5()6()6(1)(2121tbtthiiiiiiii式求和得到式对利用•可知表示第t年每个育龄妇女平均生育的人数.若设在t年后的一个育龄时期内各个年龄的女性生育率都不变,那么又可表示为•即是第t年岁的每位妇女一生平均生育的人数,称为总和生育率,或生育胎次,是控制人口数量的主要参数.生育模式是i岁妇女生育的加权因子,若表示岁妇女的生育率比岁妇女的生育率高。制订生育政策就是确定,通过控制生育的多少,通过可以控制生育的早晚和疏密.)(t)8()()1()()(121211iitbtbtbtiii)(t1i)(thi)()(ththii)(tbiii)(t)()(thti和)(thi)(t)(tbi•将(5)式代入(4)式,并记•则(4)式写作•引入向量,矩阵记号)9()()())(1))((1()(000tkthtdtdtbiii)10()()()()1(211iiiiitxtbttx)12(0)(100)(10)(100000)()11()](,),(),([)(12121tdtdtdtAtxtxtxtxmTm•那么(10)式和(1)式(i=1,2,…m-1)可以记作•这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程.当初始人口分布x(0)已知,又由统计资料确定了A(t),B(t),并且给定了总和生育率以后,用这个方程不难预测人口的发展方程.)13(000000)()(00)(21mmiitbtbtB)(t)14()()()()()()1(txtBttxtAtx•在控制理论中,X(t)成为状态变量,可将作为控制变量.•在稳定的社会环境下可认为死亡率,生育模式和女性比不随时间变化.于是A(t),B(t)为常数矩阵,(14)化为•注:这里有两个明显的人口指数:•1)人口总数N(t)•••2)平均年龄R(t))(t)15()()()()1(tBxttAxtx)16()()(0txtNmii)17()()(1)(0tixtNtRmii•我国人口总数的预测用模型(14)根据1978年的统计资料对我国人口总数作的预测如下:•死亡率用下列公式外推:•生育模式取分布的离散值:)18(505)1978(50,5]10)1978(1)[1978()(3iiittiii)19(18,018,)18(7681)(2184rrerrhr•性别比取统计数据的平均值0.487,在不同的总和生育率下得到1980---2080年的一系列结果,计算结果表明:•1)若(七十年代中期水平),则2000年将达到14.2亿,2080年达到43.1亿,近于当前世界全人口总和.•2)若(约为1980年水平),则2000年将达到12.9亿,2080年为21.2亿.•3)若(大约是保持人口长期稳定的水平),则2000年为12.2亿,72年后达到最大值,此后略有下降.•4)若,则在2007年达到最大值,到2080年降至7.8亿(1968年的水平)•5)若即全国严格执行一对夫妇只生一个孩子的政策,则在2004年达到最大值10.6亿,50年后降至9.5亿.)(tki33.225.11