新课标高考立体几何线面角的计算归类分析

新课标高考立体几何——线面角的计算归类分析深圳市第二实验学校李平作者简介李平，男，1970年12月生，硕士研究生，高级教师，现任深圳市第二实验学校总务处副主任。深圳市“技术创新能手”称号、深圳市高考先进个人。在教材教法、高考研究、教材编写等方面成效显著。主持和参与省、市级课题多项，主编和参编教育类书籍多部，发表教研论文多篇，辅导学生参加各类竞赛有多人次获奖。摘要求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角,然后再用代数、三角的方法求解，这种将空间问题向平面问题转化的思想方法,是立体几何中十分重要的思想方法,同时它也体现了等价转化、数形结合的思想,充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力.关键词线面角空间角平移法等体积法空间向量方法线面角——直线和平面所成的角1．定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线和这个平面所成的角.若直线l平面,则l与所成角为90;若直线l//平面或直线l平面,则l与所成角为0.2．线面角的范围:[0]2，.3．线面角的求法：(1)定义法(垂线法)．(2)虚拟法(等体积法).(3)平移法．(4)向量法.线面角是立体几何中的一个重要概念,它是空间图形的一个突出的量化指标,是空间位置关系的具体体现,是培养学生逻辑推理能力,树立空间观念的重要途径,故线面角一直以高频率的姿态出现在历年高考试题中.求解线面角问题一般遵循(找)、证、算三个步骤,并多以棱锥与棱柱作为考查的载体.求解线面角的方法主要有两种:一是利用传统几何方法;二是利用空间向量方法.总之,求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角,然后再用代数、三角的方法求解,这种将空间问题向平面问题转化的思想方法,是立体几何中十分重要的思想方法,同时它也体现了等价转化、数形结合的思想,充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力.本作者试就这一热点作一比较系统的归类与分析.希望对同学们进行有针对性的训练和复习有一定的帮助.例题分析(1)定义法(垂线法):斜线与它在平面内的射影所成的角,即为线面角；解决该类问题的关键是找出斜线在平面上的射影，然后将直线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角，在某一直角三角形内求解．例1[2011·天津卷]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明PB∥平面ACM；(2)证明AD⊥平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．证明：(1)连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝.从而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.【点评】求线面角,解题时要明确线面角的范围,利用转化思想,将其转化为一个平面内的角,通过解三角形来解决.求解的关键是作出垂线,即从斜线上选取异于斜足的一点作平面的垂线.有时也可采用间接法和空间向量法,借助公式直接求解.(2)虚拟法(等体积法)：线面角的求法还可以不用做出平面角．可求出线上某点到平面的距离d，利用sindAB可求.即先运用等积法求点到平面的距离，后虚拟直角三角形求解.例2．[2011·全国卷]如图，四棱锥SABCD中，//ABCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，2,1ABBCCDSD．（I）证明：SD平面SAB；（II）求AB与平面SBC所成的角的大小．（I）证明：取AB的中点E，连接DE，DB，//ABCD，2AB，1CD，BCCD.∴//BECD，1BECD，90BCD.∴四边形BCDE是矩形．∴DEAB,2DEBC.又∵1SDAE,2DESA,ADAD.∴SADADE．∵90AED,∴90DSA，即SDSA.同理可证:SDSB,又∵SASBS,∴SD平面SAB.（II）解:线面角的求法还可以不用作出平面角,可求出线上某点到平面的距离d,利用sindAB可求,故只需求点A到面SBC的距离d即可.由等积转化思想可知，ASBCSABCVV①，DSABSABDVV②.设点A到面SBC的距离为d,点S到面ABCD的距离为h.由（I）问可知,SD平面SAB,∴13DSABSABVSDS.又∵1sin6032SABSSASB,1122222ABDSDEAB.由②式可知,1133SABABDSDShS,即1113233h,32h.又∵SD平面SAB,∴SDAB,又∵//ABCD,∴SDCD.∴22222112SCSDDC,又知2SBBC,∴222222223cos22224SBBCSCSBCSBBC,∴7sin4SBC.∴1177sin222242SBCSSBBCSBC,又∵1122222ABCSBCAB.由①式可知,1133SBCABCdShS,即171323232d,2217d.由sindAB可得,221217sin27dAB.【点评】以上解法主要运用三角形全等和等积转化的思想，思路自然，属常规通法，是高三学生应熟练掌握的基本思想和方法．(3)平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移，计算其平行线与平面所成的角，也可平移平面．例3．[2010·山东卷]如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，452224ABCABBCAE，，，三角形PAB是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面PCD平面PAC；EDAEP（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小．解：（Ⅰ）证明：因为ABC=45°，AB=22，BC=4，所以在ABC中，由余弦定理得：222AC=(22)+4-2224cos45=8，解得AC=22，所以222AB+AC=8+8=16=BC，即ABAC，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥AB，又PAACA，所以ABAC平面P，又AB∥CD，所以ACCD平面P，又因为CDCD平面P，所以平面PCD⊥平面PAC；解法一（平移直线法）：延长线段AE，CD，相交于点H，连结PH，构成四棱锥P-ABCH，如图所示.连结BH交AC于点M，取PH中点N，则MN∥PB，所以直线PB与平面PCD所成的角就是直线MN与平面PCH所成的角.过点M作MG⊥PC于点G，因为平面PCD⊥平面PAC，所以MG⊥平面PCH，所以∠MNG就是直线MN与平面PCH所成的角，即直线PB与平面PCD所成的角.取PC的中点F，连结AF，由（1）知PA=AC=22，所以AF⊥PC，因为平面PCD⊥平面PAC，所以AF⊥平面PCH.又因为MG⊥平面PCE，M为线段AC的中点，所以G为线段FC的中点，所以MG=12AF=1，MN=12PB=2，所以sin∠MNG=MGMN=12，所以∠MNG=6，即直线PB与平面PCD所成角的大小为6.解法二（平移平面法）：如图，构造三棱柱PACPBC.取PC的中点F，连结AF，由（1）知PA=AC=22，所以AF⊥PC，因为平面PCD⊥平面PAC，所以AF⊥平面PCD.过点B作BFPC点F，所以BF⊥平面PCD.连结PF，则PF就是PB在平面PCD上的射影，∠BPF′就是直线PB与平面PCD所成的角.因为sin∠BPF′=12BFAFBPPC，所以∠BPF′=6，即直线PB与平面PCD所成角的大小为6.【点评】利用平行线与平面所成的角的相等性，通过补充图形，完成合理转化.(4)向量法:设平面的法向量为n,直线AB与平面所成的角为,则sinABnABn.即利用平面的法向量将线面角问题转化为两个向量的夹角问题,可避免作角这一步骤,从而降低了求解的难度.例4．[2007·全国卷]四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD．已知45ABC∠，2AB，22BC，3SASB．（Ⅰ）证明SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．解：（Ⅰ）作SOBC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SASB，所以AOBO．又45ABC∠，AOB△为等腰直角三角形，AOOB⊥．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz，(200)A，，，(020)B，，，(020)C，，，(001)S，，，(201)SA，，，(0220)CB，，，0SACB，所以SABC⊥．（Ⅱ）取AB中点E，22022E，，，连结SE，取SE中点G，连结OG，221442G，，．221442OG，，，22122SE，，，(220)AB，，．0SEOG，0ABOG，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．所以OG平面SAB，OG与DS的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余．(2220)D，，，(2221)DS，，．22cos11OGDSOGDS，22sin11，所以，直线SD与平面SAB所成角的正弦值为2211．【点评】即利用平面的法向量将线面角问题转化为两个向量的夹角问题,可避免作角这一步骤,从而降低了求解的难度.参考文献：[1]张健．2011年高考数学试题分类解析（八）—立体几何．中国数学教育，2011(7-8)；[2]何小亚．2011年广东高考立体几何大题分析.中学数学月刊，2011(8)；DBCAS[3]赵建勋.高考立体几何试题分类研究．中学数学研究，2003(3)。