力学(第二版)课后答案-高等教育出版社

力学习题剖析目录第01章物理学、力学、数学.............01第02章质点运动学.....................05第03章动量定理及其守恒定律...........15第04章动能和势能.....................28第05章角动量及其规律.................38第06章万有引力定律...................42第07章刚体力学.......................45第08章弹性体的应力和应变.............56第09章振动...........................60第10章波动...........................68第11章流体力学.......................75大学物理学院1+x2x∫x3xxxa∫adx32∫2(x3−3x+1)dx=x3dx−3dx=1x4−3x2+x+c1+x21+x21+x2dh=d(102−10−4x2+5×10−7x4)=2×10−6x3−2×10−4xdx=1(ax+b)−1/2d(ax+b)=2xx∫2xx2241.求下列函数的导数⑴y=3x2−4x+10⑵y=1/+7sinx+8cosx−100⑴∫(x3−3x+1)dx⑵∫(2x+x2)dx⑶∫(3+2ex−1)dx⑷∫(sinx−cosx)dx⑶y=(ax+b)/(a+bx)⑷y=sin⑸x21+x⑹∫sin(ax+b)dx⑸y=esinx⑹y=e−x+100x⑺∫e−2xdx2⑻dxax+b−x2⑼∫sinxcosxdx⑽∫xedx解：⑴y'=6x−4(11)∫cos2xdx(12)∫lnxdx⑵y'=−1/(2xx)+7cosx−8sinx解：⑶y'=(a2−b2)/(a+bx)2⑷y'=cos(1+x2)1/2·1(1+x2)−1/2·2x∫∫∫∫422=xcos/⑵∫(2x+x2)dx=∫2xdx+∫x2dx=2xln2+1x3+c⑸y'=esinxcosx⑶∫(3+2ex−1)dx=3∫dx+2∫exdx−∫x−3/2dx⑹y'=e−x(−1)+100=100−e−x=3lnx+2ex+2+c⑷∫(sinx−cosx)dx=∫sinxdx−∫cosxdx=−cosx−sinx+c2.已知某地段地形的海拔高度h因水平坐标x而变，h=100-⑸∫x2dx=∫1+x2−1dx=∫dx−∫dx=x−arctgx+c0.0001x2(1-0.005x2)，度量x和h的单位为米。问何处的高度将取极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？解：先求出h(x)对x的一阶导数和二阶导数：⑹∫sin(ax+b)dx=1sin(ax+b)d(ax+b)=−1cos(ax+b)+c⑺∫e−2xdx=−1∫e−2xd(−2x)=−1e−2x+cdxdx22∫ax+ba∫ad2hdx2d(2×10−6x3−2×10−4x)=6×10−6x2−2×10−4⑼∫sin2xcosxdx=∫sin2xd(sinx)=1sin3x+c令dh/dx=0，解得在x=0,10,-10处可能有极值。∵d2h/dx2|x=00,∴x=0⑽∫xe−x2dx=−1e−x2d(−x2)=−1e−x2+c是极大值点，h(0)=100；∵d2h/dx2|x=100,∴x=10是极小值点，h(10)=99.0005米；显然，x=-10亦是极小值点，h(-10)=h(10).(11)∫cos2xdx=1∫(1+cos2x)dx=1x+1sin2x+c∫x∫23．求下列不定积分(12)lnxdx=lnxd(lnx)=1(lnx)2+cx1+x21+x2dx=⑴xdx+⑻ax+b+cxx∫+2284=505π/2π∫04.求下列定积分211/2e解：sinxdx=−cosx|2=10⑴（∫12x−1)dx⑵∫(ex−1)4exdx0π/4⑶∫−1/21dx1−x2π/2⑷∫1+lnxdx10π/2⑸∫(ex+1)dx⑹∫cos2xdx⑺1dx1x⑻∫(3x+sin2x)dx∫sinxdx=−1∫sinxdx=01π/6002223−π/2−π/2解：⑴（∫x−1)dx=∫x1/2dx−∫dx=2x2|2−x|2=42−511111311336．计算由y=3x和y=x2所围成的平面图形的面积。⑵∫(ex−1)4exdx=∫(ex−1)4d(ex−1)=1(ex−1)5|1=1(e−1)500解：如图所示，令3x=x2,得两y条曲线交点的x坐标：x=0,3.面积1/2⑶∫dx=arcsinx|1/2=π=60°33−1/21−x2−1/23A=∫3xdx−∫xdxee00⑷∫1+lnxdx=∫(1+lnx)d(1+lnx)=1(1+lnx)2|e=1.5=(3x2−1x3)|3=4.5x21112230⑸∫(ex+1)dx=(ex+lnx)|2=e2−e+ln22x1π/41π/47．求曲线y=x+2,y=2x,x=0和x=2诸线所包围的面积。解：面积A⑹∫cos2xdx=1∫cos2xd(2x)=1sin2x|π/4=1−322π/612π/62π/624=∫(x20+2)dx−∫2xdx0⑺1dx=arctgx|1=π/4=45°∫1+x20=(1x3+2x−x2)|20π/2230π/2π/282⑻∫(3x+sin0x)dx=3∫0xdx+1∫(1−cos2x)dx=3π0+1π3xπ/25.计算∫sin0xdx、∫sinxdx以及π/2∫sinxdx,并在8．一物体沿直线运动的速度为v=v0+at,v0和a为常量，求物体在t1至t2时间内的0−π/2−π/2位移。vf(x)=sinx的函数图形上用面积表示这些定积分。t2解：位移S=∫(v0+at)dtt1t1t2v0t2y-π/2+-0π/2x03xyA02=(vt+1at2)|t2=v(t−t)+1a(t2−t2)02t1021221(−1)2+1212+(−2)2+22(−0.5)2+4.52+(−1)2αβAB22ABAB1．2．3．4．5．6．7．略8．二矢量如图所示A=4,B=5,α=25º,β=36.87º,直接根据矢量标积������0.5×4.5=0.5。cos(A,B)=A⋅B≈0.0308,夹角(A,B)≈88.24°�����������定义和正交分解法求A⋅B。yB解：直接用矢量标积定义：11．已知A+B+C=0,求证A×B=B×C=C×A.证明：用已知等式分别叉乘��A���������A⋅B=ABcos(90°−α+β)=−4A,B,C,有A×A+B×A+C×A=0用正交分解法：∵A=4cosα=3.60x������������xAy=4sinα=1.7,Bx=5cos(90º+β)=-5sinβ=-3,By=5sin(90º+β)=5cosβ=4A×B+B×B+C×B=0,A×C+B×C+C×C=0.其中，��������������∴A⋅B=AxBx+AyBy=3.6×(−3)+1.7×4=−4A×A,B×B,C×C均为零，∴A×B=B×C=C×A9．已知�=−iˆ+ˆj,�=iˆ−2ˆj+2kˆ,求�与�的夹角。12．计算以P(3,0,8)、Q(5,10,7)、R(0,2,-1)为顶点的三角形的面积。解：据矢积定义，△PRQ的面积��������yR(0,2,-1)解：由标积定义A⋅B=ABcos(A,B)∴cos(A,B)=A⋅BABA=1|PR×PQ|,PR=OR−OP=Q(5,10,7)��A==2,B=��=3,��A⋅B=−3−3iˆ+2ˆj−9kˆ,PQ=OQ−OP=ox∴cos(A,B)=−3=−2,两矢量夹角（A,B)=135°3222iˆ+10ˆj−kˆ.zP(3,0,8)��10．已知+ˆˆˆ��ˆˆˆ��iˆˆjkˆ的夹角。AB=3i+5j−k，A−B=4i−4j+k,求A与B�PR×PQ=−32−9210−1=88iˆ−21ˆj−34kˆ解：将已知两式相加，可求得A=3.5iˆ+0.5ˆj；再将已知两式相�|PR×PQ|==96.6,∴∆PRQ面积A=96.6=48.3减，可求得B=−0.5iˆ+4.5ˆj−kˆ.∴A=≈3.5，B=≈4.64,��A⋅B=3.5×(−0.5)+13.化简下面诸式3.52+0.52882+212+342，而jj�dAdAdtAdt�����������������=�����解：⑴(A+B−C)×C+(C+A+B)×A+(A−B+C)×BA⋅(A×B+C×B)+B⋅(A×B+C×B)������������������������=A⋅(A×B)+A⋅(C×B)+B⋅(A×B)+B⋅(C×B)=A×C+B×C+C×A+B×A+A×B+C×B=0��=⋅(×���)+⋅(×����)+⋅(×)+���⋅(×)BAA���ACBABB���CBB⑵iˆ×(ˆj+kˆ)−ˆj×(iˆ+kˆ)+kˆ×(iˆ+ˆj+kˆ)=kˆ−ˆj+kˆ−iˆ+ˆj−iˆ=2kˆ−2iˆ=A⋅(C×B)=−A⋅(B×C)16．已知A=(1+2t2)iˆ+e−tˆj−kˆ，求d�2�dAdt2i解：�=d[(1+2t2)iˆ+e−tˆj−kˆ]=4tiˆ−e−tˆj����(2����kdtdt⑶A+B)×(C−A)+(B+C)×(A+B)2�=d(4tiˆ−e−tˆj)=4iˆ+e−tˆj������������dt2dt=2A×(C−A)+B×(C−A)+B×(A+B)+C×(A+B)������������=2A×C+B×C−B×A+B×A+C×A+C×B��=��17．已知A=3e−tiˆ−(4t3−t)ˆj+tkˆ,B=4t2iˆ+3tˆj，A×C��14.计算下面诸式求d(A⋅B)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ解：��解：⑴i⋅(j×k)+k⋅(i×j)+j⋅(k×i)=iˆ⋅iˆ+kˆ⋅kˆ+ˆj⋅ˆj=3ikA⋅B=AxBx+AyBy+AzBz=3e−t4t2−3t(4t3−t)������=12t2e−t−12t4+3t2⑵A⋅(B×A)=B⋅(A×A)=0��d(A⋅B)=d(12t2e−t−12t4+3t2)��������dtdt15．求证：(A+B)⋅[(A+C)×B)]=−A⋅(B×C)=12(2t−t2)e−t−48t3+6t�����证明：(A+B)⋅[(A+C)×B)],.0rτxz第二章基本知识小结�dvd2sv2���a=aτˆ+anˆ,a=a2+a2,a=τ=,a=���dr�dvd2rτnτnτdtdt2nρ⒈基本概念r=r(t)v=dt��a=dt=dt2�s(t)⇔vτ(t)⇔aτ(t)r(t)⇔v(t)⇔a(t)⒋极坐标系�=rrˆ,�=vrˆ+vθˆ,v=（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初rvrθ����drdθ始条件：t=t0,r=r0,v=v0）vr=dt,vθ=rdt⒉直角坐标系�=ˆˆˆr�⒌相对运动对于两个相对平动的参考系rxi+yj+zk,r=,与x,y,z���r=r'+r,t=t'（时空变换）轴夹角的余弦分别为x/r,y/r,z/r.���v�=viˆ+vˆj+vkˆ,v=v2+v2+v2,v�与x,y,z轴夹v=v'+v0（速度变换）xyzxyz���角的余弦分别为vx/v,vy/v,vz/v.a=a'+a0（加速度变换）a�=aiˆ+ayˆj+azkˆ,a=a2+a2+a2,a�与x,y,z轴夹若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有：角的余弦分别为ax/a,ay/a,az/a.yy'Vx'=x−Vt,y'=y,z'=z,t'=tv=dx,v=dy,v=dzvx'=vx−V,vy'=vy,vz'=vzxdtdvydtd2xzdtdvyd2ydvd2zoxo'x'ax'=ax,ay'=ay,az'=azax=xdt=,dt2ay==,dtdt2az=zdt=dt2zz'(x,y,z)⇔(vx,vy,vz)⇔(ax,ay