三元函数极值的一个充分条件

第圆源卷第缘期圆园员园年员园月江苏科技大学学报（自然科学版）允燥怎则灶葬造燥枣允蚤葬灶早泽怎哉灶蚤增藻则泽蚤贼赠燥枣杂糟蚤藻灶糟藻葬灶凿栽藻糟澡灶燥造燥早赠（晕葬贼怎则葬造杂糟蚤藻灶糟藻耘凿蚤贼蚤燥灶）灾燥造援圆源晕燥援缘韵糟贼援圆园员园三元函数极值的一个充分条件孟义平（江苏科技大学数理学院，江苏镇江圆员圆园园猿）摘摇要：极值问题在函数研究过程中非常重要援高等数学中二元函数极值问题的求解方法对三元函数并不适用援利用三元函数的二阶偏导数，给出了三元函数无条件极值判别的一个充分条件，然后将其推广到条件极值的情形，最后给出实例援关键词：三元函数；充分条件；条件极值中图分类号：韵员苑苑郾源摇摇摇摇摇文献标志码：粤摇摇摇摇摇文章编号：员远苑猿原源愿园苑（圆园员园）园缘原园缘员员原园猿杂怎枣枣蚤糟蚤藻灶贼糟燥灶凿蚤贼蚤燥灶枣燥则藻曾贼则藻皂藻增葬造怎藻燥枣贼澡则藻藻增葬则蚤葬遭造藻泽枣怎灶糟贼蚤燥灶酝藻灶早再蚤责蚤灶早（杂糟澡燥燥造燥枣酝葬贼澡藻皂葬贼蚤糟泽葬灶凿孕澡赠泽蚤糟泽，允蚤葬灶早泽怎哉灶蚤增藻则泽蚤贼赠燥枣杂糟蚤藻灶糟藻葬灶凿栽藻糟澡灶燥造燥早赠，在澡藻灶躁蚤葬灶早允蚤葬灶早泽怎圆员圆园园猿，悦澡蚤灶葬）粤遭泽贼则葬糟贼：栽澡藻藻曾贼则藻皂藻增葬造怎藻责则燥遭造藻皂责造葬赠泽葬灶蚤皂责燥则贼葬灶贼则燥造藻蚤灶枣怎灶糟贼蚤燥灶葬灶葬造赠泽蚤泽援云燥则贼澡藻皂藻贼澡燥凿泽燥造增蚤灶早贼澡藻藻曾贼则藻皂藻增葬造怎藻责则燥遭造藻皂燥枣贼憎燥增葬则蚤遭造藻泽枣怎灶糟贼蚤燥灶蚤泽灶燥贼葬增葬蚤造葬遭造藻枣燥则贼澡则藻藻增葬则蚤葬遭造藻泽枣怎灶糟贼蚤燥灶，葬泽怎枣枣蚤糟蚤藻灶贼糟燥灶凿蚤贼蚤燥灶枣燥则藻曾贼则藻皂怎皂燥枣贼澡则藻藻增葬则蚤葬遭造藻泽枣怎灶糟贼蚤燥灶憎葬泽燥遭贼葬蚤灶藻凿遭赠增蚤则贼怎藻燥枣泽藻糟燥灶凿责葬则贼蚤葬造凿藻则蚤增葬贼蚤增藻泽援栽澡藻灶，贼澡藻糟燥灶糟造怎鄄泽蚤燥灶憎葬泽责燥责怎造葬则蚤扎藻凿贼燥糟燥灶凿蚤贼蚤燥灶葬造藻曾贼则藻皂怎皂援云蚤灶葬造造赠，蚤贼泽葬责责造蚤糟葬贼蚤燥灶憎葬泽凿蚤泽糟怎泽泽藻凿援运藻赠憎燥则凿泽：枣怎灶糟贼蚤燥灶憎蚤贼澡贼澡则藻藻增葬则蚤葬遭造藻泽；泽怎枣枣蚤糟蚤藻灶贼糟燥灶凿蚤贼蚤燥灶；糟燥灶凿蚤贼蚤燥灶葬造藻曾贼则藻皂怎皂收稿日期：圆园员园原园猿原园源作者简介：孟义平（员怨苑怨—），女，江苏泰州人，讲师，研究方向为偏微分方程援耘鄄皂葬蚤造：皂赠责鄄躁怎泽贼岳员远猿援糟燥皂摇摇在高等数学中，一元函数、二元函数极值已有成熟的判别法，而对于三元及以上的情形涉及较少，文献［员原猿］讨论了用二次型的正定型的正负性判别多元函数极值援文献［源］通过允葬糟燥遭蚤矩阵给出了求条件极值的充分条件援文献［缘］用梯度法求极值援文献［远］用构造几何模型法求解极值问题援文献［苑］用代换法求条件极值援文献［愿］得到了一种快速判别方法，但只是文献［员原猿］中正负定性的代数表示式援文中主要根据三元函数的二阶偏导数得出一种有别于正负定性的充分条件，并将其推广到条件极值援员摇主要定理及证明定理摇设三元函数枣（曾，赠，扎）在点孕园（曾园，赠园，扎园）的某邻域哉（孕园）内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，枣曾（曾园，赠园，扎园）越枣赠（曾园，赠园，扎园）越枣扎（曾园，赠园，扎园）越园，令粤越枣曾曾（曾园，赠园，扎园），月越枣赠赠（曾园，赠园，扎园），悦越枣扎扎（曾园，赠园，扎园），阅越枣曾赠（曾园，赠园，扎园），耘越枣赠扎（曾园，赠园，扎园），云越枣扎曾（曾园，赠园，扎园），则当粤原阅圆原员跃园月原耘圆原员跃园悦原云圆原员跃园时，（曾园，赠园，扎园）为极小值点，枣（曾园，赠园，扎园）为极小值；当粤垣阅圆垣员约园月垣耘圆垣员约园悦垣云圆垣员约园时，（曾园，赠园，扎园）为极大值点，枣（曾园，赠园，扎园）为极大值援证明：由三元函数的泰勒公式，对任意的（曾园垣造，赠园垣澡，扎园垣噪）∈哉（孕园），有Δ枣越枣（曾园垣造，赠园垣澡，扎园垣噪）原枣（曾园，赠园，扎园）越员圆［造圆枣曾曾（曾园垣θ造，赠园垣θ澡，扎园垣θ噪）垣圆造澡枣曾赠（曾园垣θ造，赠园垣θ澡，扎园垣θ噪）垣圆澡噪枣赠扎（曾园垣θ造，赠园垣θ澡，扎园垣θ噪）垣圆噪造枣曾扎（曾园垣θ造，赠园垣θ澡，扎园垣θ噪）垣澡圆枣赠赠（曾园垣θ造，赠园垣θ澡，扎园垣θ噪）垣噪圆枣扎扎（曾园垣θ造，赠园垣θ澡，扎园垣θ噪）］（员）其中园约θ约员，为书写简便，把枣曾曾（曾，赠，扎），枣曾赠（曾，赠，扎），枣赠扎（曾，赠，扎），枣扎曾（曾，赠，扎），枣赠赠（曾，赠，扎），枣扎扎（曾，赠，扎）在点（曾园垣θ造，赠园垣θ澡，扎园垣θ噪）的值记为枣曾曾，枣曾赠，枣赠扎，枣扎曾，枣赠赠，枣扎扎，则式（员）可写为缘员圆摇摇江苏科技大学学报（自然科学版）第圆源卷Δ枣越员圆（枣曾曾造圆垣圆枣曾赠造澡垣圆枣赠扎澡噪垣圆枣曾扎噪造垣枣赠赠澡圆垣枣扎扎噪圆）（圆）为讨论孕园（曾园，赠园，扎园）是否为极值点，只需讨论在孕园附近式（圆）的符号援Δ枣越员圆［（枣曾赠造垣澡）圆垣（枣赠扎澡垣噪）圆垣（枣扎曾噪垣造）圆垣（枣曾曾原枣圆曾赠原员）造圆垣（枣赠赠原枣圆赠扎原员）澡圆垣（枣扎扎原枣圆扎曾原员）噪圆］所以当造，澡，噪不全为零，（曾园垣造，赠园垣澡，扎园垣噪）∈哉（孕园）时，上式非零，且Δ枣的正负与各平方项系数有关，又由枣（曾，赠，扎）的二阶偏导数连续性可知，存在点孕园的邻域哉员（孕园）哉（孕园），使得对任一（曾园垣造，赠园垣澡，扎园垣噪）∈哉员（孕园）时，枣曾曾原枣圆曾赠原员，枣赠赠原枣圆赠扎原员，枣扎扎原枣圆扎曾原员与粤原阅圆原员，月原耘圆原员，悦原云圆原员同号，故当粤原阅圆原员跃园月原耘圆原员跃园悦原云圆原员跃园时，Δ枣跃园，从而（曾园，赠园，扎园）为极小值点，枣（曾园，赠园，扎园）为极小值援同理，Δ枣越员圆［原（枣曾赠造原澡）圆原（枣赠扎澡原噪）圆原（枣扎曾噪原造）圆垣（枣曾曾垣枣圆曾赠垣员）造圆垣（枣赠赠垣枣圆赠扎垣员）澡圆垣（枣扎扎垣枣圆扎曾垣员）噪圆］所以，当粤垣阅圆垣员约园月垣耘圆垣员约园悦垣云圆垣员约园时，Δ枣约园，从而（曾园，赠园，扎园）为极大值点，枣（曾园，赠园，扎园）为极大值援证毕援注：定理证明过程中对Δ枣进行不同的配方法，可得到不同的充分条件，参见文献［远］援定理也适用于条件三元函数极值的讨论援考虑三元函数枣（曾，赠，扎）在条件φ（曾，赠，扎）越园下的极值援引入拉格朗日函数蕴越枣（曾，赠，扎）垣λφ（曾，赠，扎），其中λ是待定常数，把云看做是源个变量曾，赠，扎，λ的无条件函数，对这些变量求一阶偏导数，得到驻点所满足的方程蕴曾越园蕴赠越园蕴扎越园φ越园从中可解出驻点，即可能极值点孕园（曾园，赠园，扎园）和λ，将λ代入蕴，则蕴是曾，赠，扎的三元函数，运用定理可讨论其极值，由文献［怨］中的极值理论知蕴取极值时，枣（曾，赠，扎）也取极值，且同取极大值和极小值援圆摇应用例员摇求函数枣（曾，赠，扎）越曾圆垣圆赠圆垣猿扎圆垣圆曾垣源赠原远扎的极值援解：先求驻点，由枣曾越圆曾垣圆越园枣赠越源赠垣源越园枣扎越远扎原远越园得驻点孕园（原员，原员，员），又粤越枣曾曾（孕园）越圆，月越枣赠赠（孕园）越源，悦越枣扎扎（孕园）越远阅越枣曾赠（孕园）越园，耘越枣赠扎（孕园）越园，云越枣扎曾（孕园）越园所以有粤原阅圆原员越员跃园月原耘圆原员越猿跃园悦原云圆原员越缘跃园所以孕园（原员，原员，员）为极小值点，且枣（原员，原员，员）越原远为极小值援例圆摇求函数枣（曾，赠，扎）越曾原圆赠垣圆扎满足条件曾圆垣赠圆垣扎圆越员的极值援解：令蕴越曾原圆赠垣圆扎垣λ（曾圆垣赠圆垣扎圆原员），由蕴曾越员垣圆λ曾越园蕴赠越原圆垣圆λ赠越园蕴扎越圆垣圆λ扎越园曾圆垣赠圆垣扎圆越员得驻点孕员原员猿，圆猿，原圆猿，λ员越猿圆孕圆员猿，原圆猿，圆猿，λ圆越原猿圆又蕴曾曾越圆λ，蕴赠赠越圆λ，蕴扎扎越圆λ，蕴曾赠越蕴赠扎越蕴扎曾越园在点孕员原员猿，圆猿，原圆猿处，粤越月越悦越猿，阅越耘越云越园，从而粤原阅圆原员越圆跃园月原耘圆原员越圆跃园悦原云圆原员越圆跃园所以函数在孕员原员猿，圆猿，原圆猿取极小值，且极小值为原猿援在点孕圆员猿，原圆猿，圆猿处，粤越月越悦越原猿，阅越耘越云越园，从而粤垣阅圆垣员越原圆约园月垣耘圆垣员越原圆约园悦垣云圆垣员越原圆约园第缘期孟义平：三元函数极值的一个充分条件缘员猿摇摇所以函数在孕圆员猿，原圆猿，圆猿取极大值，且极大值为猿援参考文献（砸藻枣藻则藻灶糟藻泽）［员］吴从俭，李伟援二元函数极值的高阶判别法［允］援工科数学，员怨怨缘，员员（员）：员园源原员园苑援［圆］叶淼林援关于多元函数的极值［允］援安庆师院学报：自然科学版，员怨怨缘，员（源）：苑员原苑猿援［猿］李玲援关于多元函数极值问题的注记［允］援重庆职业技术学院学报，圆园园远，员缘（圆）：员远猿原员远缘援蕴蚤蕴蚤灶早援晕燥贼藻泽燥灶藻曾贼则藻皂藻增葬造怎藻责则燥遭造藻皂燥枣皂怎造贼蚤鄄增葬则蚤葬遭造藻枣怎灶糟贼蚤燥灶泽［允］援允燥怎则灶葬造燥枣悦澡燥灶早择蚤灶早灾燥糟葬贼蚤燥灶葬造驭栽藻糟澡灶蚤鄄糟葬造陨灶泽贼蚤贼怎贼藻，圆园园远，员缘（圆）：员远猿原员远缘援（蚤灶悦澡蚤灶藻泽藻）［源］潘武敏援高等数学中多元函数条件极值的充分性条件研究［允］援科技信息，圆园园苑（圆缘）：圆园圆原圆园猿援孕葬灶宰怎皂蚤灶援栽澡藻枣怎灶糟贼蚤燥灶燥枣皂葬灶赠增葬则蚤葬遭造藻泽糟燥灶凿蚤贼蚤燥灶藻曾鄄贼则藻皂藻增葬造怎藻泽怎枣枣蚤糟蚤藻灶糟赠糟燥灶凿蚤贼蚤燥灶泽贼怎凿蚤藻泽［允］援杂糟蚤藻灶糟藻驭栽藻糟澡灶燥造燥早赠陨灶枣燥则皂葬贼蚤燥灶，圆园园苑（圆缘）：圆园圆原圆园猿援（蚤灶悦澡蚤鄄灶藻泽藻）［缘］肖翔，许伯生援用梯度法求条件极值［允］援上海工程技术大学教育研究，圆园园远（员）：猿远原猿苑援［远］孙行全援用构造几何模型法解极值题［允］援中等职业教育，圆园园苑（圆园）：猿苑原猿愿援［苑］张广计援用变量代换法求函数极值与最值的几个结论［允］援大学数学，圆园园远，圆圆（缘）：怨怨原员园员援在澡葬灶早郧怎葬灶早躁蚤援粤枣藻憎则藻泽怎造贼泽燥枣泽燥造增蚤灶早藻曾贼则藻皂藻增葬造怎藻葬灶凿皂葬曾蚤皂怎皂燥枣葬枣怎灶糟贼蚤燥灶葬责责造蚤糟葬贼蚤燥灶燥枣增葬则蚤葬遭造藻鄄泽怎遭泽贼蚤贼怎贼蚤燥灶皂藻贼澡燥凿［允］援悦燥造造藻早藻酝葬贼澡藻皂葬贼蚤糟泽，圆园园远，圆圆（缘）：怨怨原员园员援（蚤灶悦澡蚤灶藻泽藻）［愿］李忠艳，陆忠臣，陈浩援一类多元函数极值的快速判别方法及应用［允］援数学的实践与认识，圆园园猿，猿猿（苑）：怨远原员园员援蕴蚤在澡燥灶早赠葬灶，蕴怎在澡燥灶早糟澡藻灶，悦澡藻灶匀葬燥援粤糟燥灶增藻灶蚤藻灶贼躁怎凿早藻皂藻灶贼皂藻贼澡燥凿葬遭燥怎贼藻曾贼则藻皂藻增葬造怎藻燥枣燥灶藻糟造葬泽泽皂怎造贼蚤鄄增葬则蚤葬贼藻枣怎灶糟贼蚤燥灶泽葬灶凿蚤贼泽葬责责造蚤糟葬贼蚤燥灶［允］援酝葬贼澡藻皂葬贼蚤糟泽蚤灶孕则葬糟贼蚤糟藻葬灶凿栽澡藻燥则赠，圆园园猿，猿猿（苑）：怨远原员园员援（蚤灶悦澡蚤鄄灶藻泽藻）［怨］同济大学数学系援高等数学［酝］援远版援北京：高等教育出版社，圆园园苑援（责任编辑：贡洪殿）三元函数极值的一个充分条件作者：孟义平，MengYiping作者单位：江苏科技大学,数理学院,江苏,镇江,212003刊名：江苏科技大学学报（自然科学版）英文刊名：JOURNALOFJIANGSUUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGY年，卷(期)：2010,24(5)参考文献(9条)1.同济大学数学系高等数学20072.李忠艳;陆忠臣;陈浩一类多元函数极值的快速判别方法及应用[期刊论文]-数学的实践与认识2003(07)3.张广计用变量代换法求函数极值与最值的几个结论[期刊论文]-大学数学2006(05)4.孙行全用构造几何模型法解极值题[期刊论文]-中等职业教育2007(20)5.肖翔;许伯生用梯度法求条件极值2006(01)6.潘武敏高等数学中多元函数条件极值的充分性条件研究[期刊论文]-科技信息2007(2