数学选修2-2数系的扩充和复数的引入

点击进入相应模块第三章阶段复习课一、数系的扩充和复数的概念1.复数的概念形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，通常记为z=a+bi(复数的代数形式)，其中i叫虚数单位(i2=-1)，a叫实部，b叫虚部，数集C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.2.复数的分类(1)(2)集合表示:(b0)zabi(a0)b0(a0)实数复数非纯虚数虚数纯虚数3.复数相等的充要条件a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d(a,b,c,d∈R).4.复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数.5.复数的几何意义(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R);(2)复数z=a+bi平面向量(a,b∈R).6.复数的模向量的模r叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=r=(r≥0,r∈R，a,b∈R).一一对应一一对应OZOZ22ab【辨析】复数、复平面内的点、复平面内的向量任意一个复数都可以由它的实部和虚部唯一确定，当把实部、虚部看成有序数对时就对应复平面内的一个点，每一个点都对应一个以原点为起点，以该点为终点的向量，所以复数、复平面内的点、复平面内的向量是统一的.二、复数代数形式的四则运算1.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则加法z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i减法z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i乘法z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i除法1222abicdiacbd(bcad)izabi(cdi0)zcdicdicdicd(2)对复数运算法则的认识.①复数代数形式的加减运算，其运算法则是对它们的实部与虚部分别进行加减运算，在运算过程中应注意分清每一个复数的实部与虚部.②复数加法法则的合理性:(ⅰ)当b=0,d=0时，与实数加法法则一致.(ⅱ)加法交换律和结合律在复数集中仍成立.(ⅲ)符合向量加法的平行四边形法则.(3)复数满足的运算律:复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2=z2·z1,(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(4)复数加减法的几何意义.复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行(满足平行四边形、三角形法则).复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.2．几个重要的结论(1)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2).(2)z·=|z|2=||2.(3)若z为虚数，则|z|2≠z2.(4)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N*.zz3.共轭复数的性质复数z=a+bi的共轭复数=a-bi.(1)z·∈R.(2)=z.(3)任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若z=则z是实数.(4)共轭复数对应的点关于实轴对称.4.巧用向量解复数问题复数的加减运算可转化为向量的加减运算.zz，zz请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，从备选答案中选择准确选项，填在图中的相应位置，构建出清晰的知识网络吧.A.(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)iB.(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)iC.(c+di≠0)D.(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)iE.a+bi=c+di⇔a=c,b=dF.a-bi22bcadicd22acbdabicdicdEABFC【备选答案】D一、复数的概念与分类形如a+bi(a,b∈R)的数，称为复数，所有复数构成的集合称复数集，通常用C来表示.设z=a+bi(a,b∈R)，则(1)z是虚数⇔b≠0；(2)z是纯虚数⇔；(3)z是实数⇔b=0.a0b0【例1】(2019·无锡高二检测)已知复数z=m(m+1)+mi,i为虚数单位，m∈R.(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；(2)当复数z在复平面上的对应点在第二、四象限角平分线上时，求m的值；(3)若(1+i)z=1+3i，求|z|.【解析】(1)由题意得⇒m=-1，当m=-1时，z是纯虚数.(2)由题意得m2+m=-m，解得m=0或m=-2.(3)∵(1+i)z=1+3i,∴|(1+i)z|=|1+3i|,∴|z|=∴|z|=mm10m0210,5.二、复数的四则运算复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除,加减法是对应实部、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根式的分母有理化,要注意i2=-1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1，(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,=i.1i1i1i1i【例2】计算:(1)(2)【解析】(1)原式=(2)原式21612i1i();1i220128502i(22i)().1i51i.222450342522i21i1i［］［］42525214i()1256i257i.2i【例3】已知复数z＝ω＝z＋ai(a∈R)，当||≤时，求a的取值范围．13i1i13ii＋－－＋，z2【解析】∵ω＝z＋ai＝1－i＋ai＝1＋(a－1)i,∴∴∴a2－2a－2≤0，∴1－≤a≤1＋故a的取值范围是［1－1＋］．13i1i13i24i13izii－＋－－＋＋－＋＝＝1a1i1a1i1i2aai.z1i22＋－［＋－］＋－＋＝＝＝－222aa2z2－＋＝，33，3，3i1i1i1i.i1－＋＋＝＝＝－三、复数的几何意义及数形结合思想的应用复数z=a+bi(a,b∈R)和复平面上的点Z(a,b)一一对应，和向量一一对应，复数z对应的点所在象限由z的实部和虚部的符号确定，正确的求出复数的实部和虚部，是解决此类问题的关键.复数的几何意义为数形结合解决复数问题提供了条件，灵活运用数形结合思想可达到事半功倍的效果.运用数形结合的思想,挖掘题目中知识的多功能因素,使问题出奇制胜地得到解决.OZ【例4】已知复数z满足｜z-3-4i｜=2，则｜z｜的最大值为__________.【解析】｜z-3-4i｜=2表示复平面内动点Z的轨迹是以点(3，4)为圆心，以2为半径的圆，所以｜z｜max=5+2=7.答案：7【例5】已知z是复数，z+2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【解析】设z=x+yi(x,y∈R)，则z+2i=x+(y+2)i,由题意知∴∴z=4-2i.z2izxyi111xyi2i2xy2yxi.2i2i555y2012yx0,5，x4,y2，∵(z+ai)2=［4+(a-2)i］2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,由已知得∴2a6，∴实数a的取值范围是(2,6).2124aa08a20，，四、复数的模与共轭复数若z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi称为z的共轭复数，复数的模与复数的代数形式紧密相关，复数模的计算也可以转化为复数的乘积，即：z·=|z|2.zz【例6】使复数为实数的充分而不必要条件是()(A)z=(B)|z|=z(C)z2为实数(D)z+为实数【解析】选B.z=⇔z∈R；|z|=z⇒z∈R，反之不行，如z=-2；z2为实数不能推出z∈R，如z=i；对于任意z，z+都是实数.zzzz【例7】已知z2=(x2+a)i，对于任意x∈R，均有|z1|＞|z2|成立，试求实数a的取值范围．【解析】∵|z1|＞|z2|，∴x4+x2+1＞(x2+a)2，∴(1-2a)x2+(1-a2)＞0对x∈R恒成立．当1-2a=0，即a=时，不等式成立；当1-2a≠0时，⇒-1＜a＜综上，a∈(-1,］．221zxx1i，12212a0,412a1a0＞＜1212，五、复数中的轨迹问题通过引入参变量架起已知通向未知的桥梁,这样,把问题转化为对参变量的讨论.这种方法运用的巧妙,可以达到化难为易、化繁为简、化生为熟、化未知为已知的效果.【例8】已知复数z1≠1,且是纯虚数，复数求复数z在复平面内对应的点的轨迹.【解析】设=bi(b∈R,b≠0),则z1=-1，∴z==(1-bi)2=1-b2-2bi.设z=x+yi(x,y∈R),得消去b得，y2=-4(x-1)(x≠1),即复数z对应的点的轨迹为抛物线(除去顶点).11z1z1214z1z，11z1z121bi2141z2x1b,y2b，【例9】已知z=t+3+3i，其中t∈C，且为纯虚数．(1)求t的对应点的轨迹；(2)求|z|的最大值和最小值．3t3t3【解析】(1)设t=x+yi(x,y∈R)，则∵为纯虚数，∴即∴t的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去(-3,0)(3,0)两点.222222xy96yi[x3yix3yit3x3yit3x3yix3yx3y][]，t3t322xy90,y0,22xy9,y0,(2)由t的轨迹可知，|t|=3，∴|z-(3+3i)|=3，圆心对应3+3i，半径为3，∴|z|的最大值为|3+3i|+3=9，|z|的最小值为|3+3i|-3=3．33331.(2019·浙江高考)已知i是虚数单位,则=()(A)1-2i(B)2-i(C)2+i(D)1+2i【解析】选D.3i1i3i1i3i24i12i.1i222.已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝()(A)－3i(B)3i(C)±3i(D)4i【解析】选B.令z＝a＋bi(a，b∈R)，则a2＋b2＝9,①又z＋3i＝a＋(3＋b)i是纯虚数，∴由①②得a＝0，b＝3，∴z＝3i，故应选B.a0b30＝，②＋，3.复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为()(A)2(B)4(C)4(D)8【解析】选C.∵|z－4i|＝|z＋2|，且z＝x＋yi,∴|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|,∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2,∴x＝－2y＋3，∴2x＋4y＝2－2y＋3＋4y＝8·＋4y≥22y1442.4.满足条件|z+i|+|z－i|=4的复数z在复平面上对应点的轨迹是()(A)一条直线(B)两条直线(C)圆(D)椭圆【解析】选D.复数z在复平面上对应点到定点(0,1)，(0，-1)的距离之和为定值4，故对应点的轨迹是椭圆.5.(2019·东城高二检测)若复数(1+ai)(2+i)=3-i，则实数a的值为__________.【解析】∵(1+ai)(2+i)=3-i,∴(2-a)+(2a+1)i=3-i,∴∴a=-1.答案：-12a32a11,，6.已知复数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为求的最大值．【解析】∵|x-2+yi|=∴(x-2)2+y2=3，故(x,y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x,y)与点(-1,-1)连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知的最大值为3，y1x13，3y1x1y1x1321.6