2007-2008第一学期随机数学期中考试试卷和答案

12007----2008学年第一学期《随机数学》期中考试试卷一、本题满分30分，每小题5分1.设事件A，B相互独立，A，C互不相容，且2.0)|(,4.0)(,3.0)(,4.0)(CBPCPBPAP。.)(BACP求解：58.012.03.04.0)()()()()(BPAPBPAPBAP分108.02.04.0)|()()()(CBPCPBCPBCACP分2138.058.008.0)()()())(()(BAPBCACPBAPBACPBACP分22.袋子中有6只红球，4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，求得分不大于6分的概率。解：A=“得分不大于6分”，B=“抽出的球中有3只红球”，C=“抽出的球都是红球”分1)(1)()(CBPCBPAP分242231)()(1410464101436CCCCCCPBP分23.设随机变量X服从参数为),2(p的二项分布，随机变量Y服从参数为),3(p的二项分布，若95}1{XP，求}1{YP解：由于),2(~pbX，95)1(1}0{1}1{2pXPXP分2所以，31p分1227193111}0{1}1{3YPYP分24．设连续型随机变量X的分布函数为)(arctan)(xxbaxF（1）试确定常数ba,（2）求}1{2XP解：（1）根据分布函数的性质，有2)arctan(lim)(1baxaFx2)arctan(lim)(0baxaFx分2所以，.1,21ba分1（2）21)]1()1([1}11{1}1{2FFXPXP分25．已知随机变量X在（－3，3）上服从均匀分布，现有方程02442XXyy求方程有实根的概率。解：X的概率密度为：其它03361)(xxf分2P{此方程有实根}=}0)2(44)4{(2XXP分1}1{}2{}0)1)(2(16{XPXPXXP2161611332dxdx分236．设随机变量YX,相互独立，且都服从参数为0.5的贝努利分布，求},max{YXZ，求Z的分布律。解：Z的可能取值为0，1,分125.05.05.0}0{}0{}0,0{}0{YPXPYXPZP分275.0}1{}1{}0{}1{}1{}0{}1,1{}0,1{}1,0{}1{YPXPYPXPYPXPYXPYXPYXPZP分2二．本题满分40分，共有5道小题，每道小题8分．7.设顾客在某银行的窗口等待的时间X（以min计）服从参数5的指数分布，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求).1(YP解：X的密度函数为其他0051)(5xexfx分1此顾客未等待服务而离开窗口的概率：25100511}10{1}10{edxeXPXPpx分2由题意可知，),5(~2ebY分25167.0)1(1}0{1}1{52eYPYP分38．已知X的分布函数为42,121,3210,2101,311,0)(xxxxxxF求26sinXY的分布函数。解：根据分布函数与分布律间的关系)0()()(kFkFkXP可得随机变量X的可能取值为－1，0，1，2。分131)01()1()1(FFXP61)00()0()0(FFXP61)01()1()1(FFXP31)02()2()2(FFXP分2由26sinXY，Y的可能取值为.43,41,0分161)0()0(XPYP，21)1()1()41(XPXPYP31)2()43(XPYP分2则Y的分布函数为43,14341,32410,610,0)(yyyyyFY分29．设有一个小码头只能停靠1只船，预先知道某天将要来甲、乙两只船，它们在24小时5内各时刻等可能的到达，两船到达时刻相互独立。它们停靠码头的时间分别是4小时和3小时，试求有1船在外等待的概率解；设X，Y分别表示甲、乙两船到达的时刻，则X，Y相互独立，且都服从[0，24]上的均匀分布。分1其它0240241)()(xxfxfYX，分1(X,Y)的联合密度函数为其它0240,240241),(2yxyxf分2A=“有一船在外等待”=}43{}30{}40{XYXYXXY分243),(}43{)(xyxdxdyyxfXYXPAP27.02420212121242222分210．一商店经销的某种商品，其每周的销售量是随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布，若每周的销售量是相互独立的，试求该商店两周销售量的概率密度函数。解：由题意]20,10[~UXi，故iX的概率密度为其他02010101)(iiixxf分1记Z为两周销售量的和，21XXZ其他，，02010,20101001)()(111211xzxxzfxf分1611211)()()(dxxzfxfzf分2其他，04030),40(100110013020),20(100110012020110101zzdxzzdxzz分411．设X和Y为离散型随机变量，它们的分布律分别为214141101~X，3141125101~Y。已知,41)(,0)(YXPYXP求(X,Y)的联合分布律，并判断X,Y是否独立。解：由0)(YXP得出0)1,0()1,1()0,1(YXPYXPYXP分2设联合分布律如下表YX-101ip-1a00410tb0411vuc21jp1254131由联合分布律与边缘分布律的关系，易得出,31,41ca再由41)(YXP，则43411)(YXP，所以,43cba则61b7121125,12141,12141tavbubt分3从而得出(X,Y)的联合分布律为YX-101ip-141004101216104111211213121jp1254131分1因为)0()1(0)0,1(YPXPYXP，所以X,Y不独立。分2三．本题满分30分，共有3道小题，每道小题10分）．12．设电源电压不超过200V，在200~240V和超过240V三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2。假设电源电压X服从正态分布)25,220(2N，试求（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率。x0.100.200.400.600.801.001.201.40)(x0.5400.5790.6550.7260.7880.8410.8850.919表中)(x是标准正态分布函数。解：引进事件1A{电压不超过200V},2A{电压在200～240V},3A{电压超过240V}，B={电子元件损坏}分1212.0)8.0(2522020025220)200()(1XPXPAP，8576.0)8.0()8.0()240200()(2XPAP212.0576.0212.01)240()(3XPAP分3由题意知1.0)(1ABP，001.0)(2ABP，2.0)(3ABP（1）由全概率公式0642.0)()(31jjjABPAP分3（2）由贝叶斯公式知.009.0)()|()()|(222BPABPAPBAP分313．设二维随机变量（X，Y）服从区域D:}10|),{(2xyyx上的均匀分布,求（1）(X,Y)的联合密度函数；（2）求边缘概率密度函数)(,)(yfxfYX.；（3）求)21(xyfXY。解：（1）区域D的面积为34111102xdydxs分2所以(X,Y)的联合密度函数为其他,010,43),(2xyyxf分1（2）X的边缘密度函数为其他,011),1(4343),()(2102xxdydyyxfxfxX分29Y的边缘密度函数为其他,010,12343),()(11yydxdxyxfyfyyY分2（3）430342114343)21(),21()21(2yfyfxyfXXY分314．设二维随机变量YX，服从矩形1020,yxyxD，：上的均匀分布．记：YXYXU10YXYXV2120（1）求二维随机变量),(VU的联合分布律，以及VU与各自的边缘分布律，并判断它们是否是相互独立的；（2）求W=2U+V的分布律解：（1）由题意可得41YXP，212YXP，412YXYP，分1所以，41200YXPYXYXPVUP，，，0210PYXYXPVUP，，，41201YXYPYXYXPVUP，，，10214141111VUP，，VU，的联合分布律及各自的边缘分布律为VU01ip00.2500.2510.250.50.75jp0.50.5分4因为)0()0(0)1,0(VPUPVUP,所以U和V不独立。分1（2）W=2U+V的可能取值为0，1，2，3P(W=0)=P(U=0,V=0)=0.25P(W=1)=P(U=0,V=1)=0P(W=2)=P(U=1,V=0)=0.25P(W=3)=P(U=1,V=1)=0.5分4