17.1.1勾股定理的认识

2002年国际数学家大会会标上面的这幅图片，是2002年在北京召开的国际数学大会的会徽，它与数学中著名的勾股定理有着密切联系。在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。根据我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是3，股是4，那么弦是5.后来人们进一步发现并证明了关于直角三角形三边之间的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是勾股定理。在本章，我们将探索勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理去解决有关问题。由此可以加深对直角三角形的认识。17.1.1勾股定理的认识相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，从朋友家的地砖铺成的地面上发现了直角三角形三边的某种数量关系．ABCA、B、C的面积有什么关系？等腰直角三角形三边有什么关系？SA+SB=SC两直边的平方和等于斜边的平方1234ABCABCA的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图2图3A、B、C面积关系直角三角形三边关系图2图3491392534sA+sB=sC两直角边的平方和等于斜边的平方探究与猜想是不是一般的直角三角形的三边都满足这种关系呢?ABCABCSA=a2SB=b2SC=c2abcc2=a2+b2命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.abc勾股弦即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．(1)(2)(3)(4)bCa1、拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b,斜边c）；你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看.(3)(2)(1)(2)(3)(4)cccc(a-b)2(a-b)2C2－4×21ab=a2+b2=c2可得：a2+b2－2ab=c2－2abbCa证法一cba用赵爽弦图证明勾股定理ba222cba证法二赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实。加差实，亦成弦实。赵爽弦图朱实朱实朱实CcABababc朱实C2=(2×21ab）+(a-b)2a2+b2=2ד赵爽弦图’表现了我国古代人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理。babababacccc大正方形的面积该怎样表示?(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab可得:a2+b2=c2ab2142c证法三a2+b2=c2a2b2a2c2毕达哥拉斯证法证法四：证法五：aabbcc伽菲尔德的“总统”证法:)ba)(ba(21S梯形2Sc21ab21ab21S梯形∴a2+b2=c2你还想知道勾股定理的其它证法吗？请上网查询，你一定会有精彩的发现。若你再能写一点有关勾股定理的小文章，那就更漂亮了。符号语言：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.aABCbc几何语言：∵∠C=90°（已知）∴a2+b2=c2（勾股定理）勾股定理:∟c2=a2+b2变式：a2=c2-b2b2=c2-a2勾股定理应用：222222,,bcaacbbac勾股定理的各种表达式：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则:c2=a2+b2a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2a2=c2-b2b2=c2-a222bac=a=22bcb=22ac勾股定理揭示的是直角三角形三边平方的关系，故它只适用于直角三角形。解题时要注意：（1）要确定是直角三角形；（2）要分清直角边和斜边；（3）已知两边求第三边时，已知的两边可能是直角边，也可能是斜边和直角边。（4）“勾股定理”是数形结合的典范。勾股勾股弦我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.辉煌发现勾股世界在西方，因为是毕达哥拉斯最先发现这个定理的，所以西方人通常称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”．传说毕达哥拉斯证明这个定理之后，杀了一百头牛来庆祝，所以它又叫“百牛定理”．在欧洲中世纪它又被戏称为“驴桥定理”，因为那时数学水平较低，很多人学习勾股定理时被卡住，难以理解和接受。所以勾股定理被戏称为“驴桥”，意谓笨蛋的难关。我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就曾提出，“勾三、股四、弦五”，所以勾股定理又叫“商高定理”《周髀算经》毕达哥拉斯商高数学史话《勾股圆方图》★公元前600年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派发现勾股定理，命名为“毕达哥拉斯定理”（百牛定理），而且给出了证明。★古巴比仑人在公元前19世纪也发现此定理。★定理从提出到现在的两千多年中，已经找到证明400多种，由鲁密斯搜集整理的《毕达哥拉斯》一书中就给出370种不同证法。★公元前11世纪，周公与商高的对话（记录于公元前1世纪《周髀算经》）中提出“勾三、股四、弦五”。——勾股定理、商高定理★《周髀算经》中还记载了公元前六、七世纪的荣方与陈子的对话，再次提到勾股定理。——陈子定理1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.①81144z②③625576144169P625400P的面积=______________225BACAB=__________AC=__________BC=__________2515202.填空.26xX=____________243.填空.例1在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c。（1）已知a=b=6,求c；（2）已知c=3，b=2,求a；（3）已知a:b=2:1，c=5,求b.点拨：已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是明确所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理的原式还是变式。练习：1.在直角三角形△ABC中，∠C=90°。（1）已知∠A=30°，a=3，求b和c；（2）已知∠A=45°，c=8，求a和b；（3）已知a:b=2:3,c=13,q求a,b.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，则AB2+BC2+AC2=_____。3.如图,一个高3米,宽4米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为()A.3米B.4米C.5米D.6米C３４CBA4.若直角三角形的两边长分别是3cm和4cm，求第三边的长度。（本题没有指明斜边、直角边，应分情况讨论）5.（1）在直角三角形中，若斜边长为5cm，一条直角边的长为3cm，则另一直角边的长为______.(2)现有两根铁棒，他们的长分别为6米和8米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为_____.6.如果将长为6cm，宽5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（）。A.8cmB.5C.5.5cmD.1cm(折痕最长为长方形对角线的长度)7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3.(1)求DE的长。（2）求△ADB的长。28.某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?ACB常用的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25。题型一：勾股定理与方程（组）的综合应用例1如图，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15,求边BC上的高AD。例2如图所示，在一棵树CD上10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离数20处的池塘A处，另外一只爬到树顶D处后沿直线跳到D处。如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？题型二：利用勾股定理解决求图形面积和图形折叠问题例1如图所示的阴影部分是两个正方形，图中还有一个大正方形和两个直角三角形。求阴影正方形面积的和。练习：1.求图中字母所代表的正方形的面积。2480ABB400625∟ABCD7cm2.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。49例2如图所示，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B,C两点恰好落在AD边的点P处，若∠FPH=90°，PF=8，PH=6，则长方形ABCD的边BC的长为（）。练习：1.已知，如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF,则△ABF的面积为____.2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在AC边上，与点B'重合，AE为折痕，则EB'=___.AB美丽的勾股树再见•在西方人们认为勾股定理是毕达哥拉斯先发现的，并称之为“毕达哥拉斯定理”。不过早在公元前1120年左右中国的商高就在对话中说到：“故折矩，此为勾广三，股修四，经隅五。”你可能认为这是最早的勾股定理，但是具调查在公元前1900年的一块巴比伦上午泥板中，记载了15组勾股数。所以古巴比伦人才是勾股定理最先的发现人。有关知识：◆“勾广三，股修四，径隅五。”◆在西方，一般认为这个定理是一个叫做毕达哥拉斯的人发现的，所以称这个定理为毕达哥拉斯定理。◆我国著名数学家华罗庚建议：发射一种勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会认识这种“语言”的。•中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：•周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”•商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”•毕达哥拉斯出生于萨摩斯岛，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何，自然学和哲学。后来来到巴比伦，印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养。大约在公元前530年，又返回萨摩斯岛，后来又迁居意大利的克罗通，创建了自己的学术。毕达哥拉斯学术认为数最崇高，最神秘，他们所讲的是整数。可惜，朝气蓬勃的毕达哥拉斯到了晚年不仅学术保守，还反对新生事物，最后死与非命商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。什么是勾、股呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾，下半部分称为股。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成勾三股四弦五。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作商高定理。毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和[数]之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇....于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。那一顿饭