第九节函数的连续性与间断点(创新班)

连续函数的概念函数的间断点第九节函数的连续性与间断点在函数极限概念的基础上,我们引入另一个基本概念——函数的连续性.函数的连续性是函数的重要连续函数是非常重要的一类函数,也是函数的一种重要性态之一.函数的连续性描述的是自变量有微小变化时,相应的因变量的变化也很微小.函数的连续性是描述函数的渐变性态,对函数连续性一般有三种描述：连续函数的图形是一条连续不断曲线；什么是函数的连续性?当自变量有微小变化时，因变量的变化也是微小的；自变量的微小变化不会引起因变量的跳变；2xy例如：上连续在),(xysin上连续在),(处间断在点0x1yx21()1xfxx11xyO1x在点间断.如何用数学语言刻画函数的连续性？一、连续函数的概念1.函数的增量0000()(),(),,.fxUxxUxxxxx设函数在内有定义称为自变量在点的增量0()()(),.yfxfxfxx称为函数相应于的增量xy0xy00xxx0)(xfyx0xxx0xyy)(xfy自变量和因变量的增量表示方法:自变量和因变量的增量都可正可负00001.::()()()()xxxxxxyfxfxyfxfx000000002.:():()()()()xxxxxxxxyfxfxxyfxxfx2.连续函数的概念(1)函数y=f(x)在x0点连续oxy0xy=ƒ(x)}ΔyΔxx连续oxy°}Δyy=ƒ(x)Δx0xx间断定义1设函数)(xf在)(0xU内有定义,如果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量y也趋向于零,即0lim0yx或0)]()([lim000xfxxfx那么就称函数)(xf在点0x连续,0x称为)(xf的连续点.注000lim[()()]0xfxxfx因0,0xxxx令当时,000lim0lim()()xxxyfxfx0xx有,从而oxyy=ƒ(x)Δx}Δy0x0xx000lim()()xfxxfx定义2设函数)(xf在)(0xU内有定义,如果函数)(xf当0xx时的极限存在,且等于它在点0x处的函数值)(0xf,即)()(lim00xfxfxx那么就称函数)(xf在点0x连续.函数y=f(x)在x0点连续的等价定义注该定义包含三重含义:(1)函数y=f(x)在x0点有定义;(2)极限存在;0lim()xxfx(3);00lim()()xxfxfx例11sin,0,()0.0,0,xxfxxxx试证函数在处连续证,01sinlim0xxx,0)0(f又由定义2知.0)(处连续在函数xxf),0()(lim0fxfx利用函数y=f(x)在x0点连续的定义经常用来讨论分段函数在分段点的连续性.例2.),(sin内连续在区间函数证明xy证),,(x任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx,1)2cos(xx.2sin2xy则,0,时当对任意的,sin有,2sin2xxy故.0,0yx时当.),(sin都是连续的对任意函数即xxy(2)单侧连续由左、右极限的概念可得到函数在某点左、右连续的概念.000lim()()()xxfxfxfx记为000lim()()()xxfxfxfx记为,则称函数ƒ(x)在x0处左连续;00lim()()xxfxfx定义3若左极限,则称函数ƒ(x)在x0处右连续;00lim()()xxfxfx若右极限000lim()lim()lim()xxxxxxfxAfxfxA因为则有00000lim()()lim()lim()()xxxxxxfxfxfxfxfx结论:函数ƒ(x)在x0处连续的充要条件是ƒ(x)在x0处既左连续又右连续.即定义4若函数ƒ(x)在开区间(a,b)内的每一点都连续,则称函数ƒ(x)在开区间(a,b)内连续;若函数ƒ(x)在开区间(a,b)内连续,且在左端点a右连续,在右端点b左连续,则称函数ƒ(x)在闭区间[a,b]内连续.00000lim()()lim()lim()()xxxxxxfxfxfxfxfx(3)函数y=f(x)在区间上连续注1.区间上连续函数的图形时没有间断的一笔画的曲线段.2.讨论分段函数在分段点的连续性.例32,0,()0.2,0,xxfxxxx讨论函数在处的连续性解)2(lim)(lim00xxfxx2(0),f)2(lim)(lim00xxfxx2(0),f右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxf解(1)1f因为()1.fxx故在处连续211lim()lim1xxfxx且11lim()lim(2)1xxfxx1lim()(1)1xfxf则讨论函数在x=1处的连续性.2,01()2,12xxfxxx在点x=0,x=1处是否连续.解在点x=0处,因为00lim()lim(1)xxfxx1(0)1f所以,f(x)在点x=0处不连续.因为在点x=1处,11lim()lim(1)xxfxx2(1)f又11lim()lim2xxfxx2(1)f所以f(x)在点x=1处连续.讨论函数1,0()1,012,1xxfxxxxx.0,0,,0,cos)(,处连续在函数取何值时当xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00,1)(lim)(lim00xaxfxx,a,)0(af),0()00()00(fff要使,1时故当且仅当a.0)(处连续在函数xxf,1a确定常数k,b的值,使函数在定义域内连续.1sin,0(),01sin,0xxxfxkxxbxx解001lim()limsin1xxfxxx001lim()lim(sin)xxfxxbbx1b要使ƒ(x)在x=0处连续,故000lim()lim()lim()(0)1xxxfxfxfxfk确定常数a,b,使为连续函数.2122()lim1nnnxaxbxfxx2,111()1(1),121(1),12axbxxxxfxabxabx,因为则要使ƒ(x)连续,则ƒ(x)就必须在x=±1处连续.解11(1)211(1)2abababab解之,得a=0,b=1故当a=0且b=1时,函数ƒ(x)连续.由定义2可知求连续函数在某点的极限即为求此点的函数值.11abab即1111lim()lim()(1),lim()lim()(1)xxxxfxfxffxfxf由得若以上条件至少有一个不满足,则称ƒ(x)在x0处间断.即函数在x0点连续必须同时满足以下三个条件:二、函数的间断点(1)函数y=f(x)在x0点有定义;(2)极限存在;0lim()xxfx(3);00lim()()xxfxfx(2)ƒ(x)在x0处虽有定义,但不存在;0lim()xxfx(1)ƒ(x)在x0处没有定义;(3)ƒ(x)在x0处虽有定义,且存在,但0lim()xxfx00lim()()xxfxfx若以上条件至少有一个满足,则称ƒ(x)在x0处间断.间断点的分类1.第一类间断点00(),().fxxxfx如果在点处的左、右极限都存在则称点为函数的第一类间断点(1).跳跃间断点0000(),,(0)(0),().fxxfxfxxfx如果在点处左右极限都存在但则称点为函的跳跃间断点数例4.0,0,1,0,)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的跳跃间断点xoxy.0,1,0,0,0,1sgn时当时当时当xxxxy例符号函数0x是第一类跳跃间断点例,0()sin2,0ln(1)xxexfxxxx00lim()0,lim()2,xxfxfx因为0().xfx是的跳跃间断点1-1-2(2).可去间断点00000(),lim()(),()().xxfxxfxAfxfxxxfx如果在点处的极限存在但或在点处无定义则称点为函数的可去间断点例5.1,1,11,10,1,2)(处的连续性在讨论函数xxxxxxxfoxy112xy1xy2解,1)1(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1xfx),1(f1.x为函数的可去间断点注可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例5中,(1)2,f补充定义2,01,()1,1,1.xxfxxxx则在处连续跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.oxy1122.第二类间断点00(),().fxxxfx如果在点处的左、右极限至少有一个不存在则称点为函数的第二类间断点例6.0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解oxy,0)00(f,)00(f0,.x为无穷间断点故属于第二类间断点(1).无穷间断点00(),().fxxxfx如果在点处的左、右极限至少有一个为无则称点为函数穷间断点的(2).振荡间断点00(),().fxxxfx如果在点处的左、右极限跳跃振荡而不趋于常数则称点为函数的振荡间断点例71()sin0,0,()11,0().fxxxfxxxfx函数在处没有定义当时的极限值在与之间来回振荡所以点为函数的振荡间断点第一类间断点：00000(1)()()()(2)lim()()xxfxfxfxfxfx没定义可去间断点,00()()fxfx跳跃间断点,第二类间断点：左右极限都存在的间断点；左右极限至少有一个不存在的间断点：无穷间断点,00()()fxfx或振荡间断点,00()())fxfx（或跳跃震荡而不趋于常数可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0xoyx0x2πx为其无穷间断点.0x为其振荡间断点.1x为可去间断点.例如xytan2xyOxyxy1sinOxy1O1)1(1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点.1,1,)(21xxxxfy(4)xOy211(5)0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11,1)0(f1)0(f0x为其跳跃间断点.1.tan.2yxx讨论函数在处的连续性解,.2x为无穷间断点故属于第二类间断点2limtanxx2limtanxx1,02.0,001,0xxyxxxx函数在处的极限为00lim()lim(1)xxfxx1(0)0f00lim()lim(1)xxfxx1(0)0f0().xfx故点是函数跳跃间断点sin3.()0,0xfxxxx函数在处没有定义所以点是函数().fx间断点由于0sinlim1xxx:01,xy如果补充定义令时则得函数(),0()1,0fxxgxx0.x在点连续0().xfx故点为函数的可去间断点2101()011xfxxx