计算方法及MATLAB实现习题集

计算方法及计算方法及计算方法及计算方法及MATLABMATLABMATLABMATLAB实现实现实现实现····习题集习题集习题集习题集©郑勋烨郑勋烨郑勋烨郑勋烨第第第第1页页页页共共共共95页页页页第第第第1111章章章章误差分析误差分析误差分析误差分析AAAA类题目类题目类题目类题目题目题目题目题目1.1.1.1.测量一木条长度为测量一木条长度为测量一木条长度为测量一木条长度为542cm542cm542cm542cm，，，，若其绝对误差不超过若其绝对误差不超过若其绝对误差不超过若其绝对误差不超过0.5cm0.5cm0.5cm0.5cm，，，，问测量的相对误差是多少问测量的相对误差是多少问测量的相对误差是多少问测量的相对误差是多少？？？？解答解答解答解答：：：：*40.59.2310542re-=≈×。。。。题目题目题目题目2.2.2.2.已知已知已知已知2.71828e=⋯试问其近似值试问其近似值试问其近似值试问其近似值12.7x=，，，，22.71x=，，，，32.718x=各有几位有各有几位有各有几位有各有几位有效数字效数字效数字效数字？？？？并给出它们的相对误差限并给出它们的相对误差限并给出它们的相对误差限并给出它们的相对误差限。。。。解答解答解答解答：：：：12.7x=有有有有2222位有效数字位有效数字位有效数字位有效数字，，，，相对误差限相对误差限相对误差限相对误差限*0.0190.0072.7rε=≈；；；；22.71x=有有有有2222位有效数字位有效数字位有效数字位有效数字；；；；相对误差限相对误差限相对误差限相对误差限*0.00830.00312.71rε=≈；；；；32.718x=有有有有3333位有效数字位有效数字位有效数字位有效数字；；；；相对误差限相对误差限相对误差限相对误差限*0.000290.000010669612.718rε=≈；；；；题目题目题目题目3.3.3.3.已知已知已知已知11.42x=，，，，20.0184x=-，，，，4318410x-=×的绝对误差限均为的绝对误差限均为的绝对误差限均为的绝对误差限均为20.510-×，，，，试试试试问它们各有几位有效数字问它们各有几位有效数字问它们各有几位有效数字问它们各有几位有效数字？？？？解答解答解答解答：：：：12431.42,0,3;0.0184,2,1;18410,2,1.xmnxmnxmn-====-=-==×=-=题目题目题目题目4.4.4.4.分别用分别用分别用分别用227和和和和355113作为作为作为作为3.14159265π=⋯的近似值的近似值的近似值的近似值，，，，问它们各有几位有效数字问它们各有几位有效数字问它们各有几位有效数字问它们各有几位有效数字？？？？解答解答解答解答：：：：22210.001310,12372nnπ--≈×-=-⇒=7635512.671010,1671132nnπ---≈××-=-⇒=题目题目题目题目5.5.5.5.为避免有效数字损失为避免有效数字损失为避免有效数字损失为避免有效数字损失，，，，当当当当1x时试作等价变形来加工下列计算公式时试作等价变形来加工下列计算公式时试作等价变形来加工下列计算公式时试作等价变形来加工下列计算公式：：：：计算方法及计算方法及计算方法及计算方法及MATLABMATLABMATLABMATLAB实现实现实现实现····习题集习题集习题集习题集©郑勋烨郑勋烨郑勋烨郑勋烨第第第第2页页页页共共共共95页页页页（（（（1111））））11121xxx--++；；；；（（（（2222））））1cosx-；；；；（（（（3333））））1xe-（（（（4444））））42x+-（（（（5555））））1cosxxx-；；；；解答解答解答解答：：：：（（（（1111））））11121xxx--++；；；；221122(12)(1)(1)(12)xxxxxxxx+--+==++++原式（（（（2222））））1cosx-；；；；22sin2sin2cos1xxx==+原式（（（（3333））））1xe-；；；；2222xeshxxch=原式（（（（4444））））42x+-；；；；42xx=++原式（（（（5555））））1cosxxx-；；；；22sin2xx=原式3524!6!xxx=-+题目题目题目题目6.6.6.6.为避免有效数字损失为避免有效数字损失为避免有效数字损失为避免有效数字损失，，，，当当当当1x时试作等价变形来加工下列计算公式时试作等价变形来加工下列计算公式时试作等价变形来加工下列计算公式时试作等价变形来加工下列计算公式：：：：（（（（1111））））11xxxx+--；；；；（（（（2222））））1211xxdtt++∫；；；；（（（（3333））））2ln(1)xx--（（（（4444））））331xx+-；；；；解答解答解答解答：：：：（（（（1111））））11xxxx+--；；；；211()xxxxx=++-原式（（（（2222））））1211xxdtt++∫；；；；1arctan1(1)xx=++原式（（（（3333））））2ln(1)xx--；；；；2ln(1)xx=-+-原式计算方法及计算方法及计算方法及计算方法及MATLABMATLABMATLABMATLAB实现实现实现实现····习题集习题集习题集习题集©郑勋烨郑勋烨郑勋烨郑勋烨第第第第3页页页页共共共共95页页页页（（（（4444））））331xx+-；；；；=原式()()3322111xxxx++++题目题目题目题目7.7.7.7.利用秦九韶利用秦九韶利用秦九韶利用秦九韶----霍纳霍纳霍纳霍纳ChinChinChinChin----HornerHornerHornerHorner算法算法算法算法，，，，求多项式求多项式求多项式求多项式542()341pxxxxx=-+-+在在在在3x=处的值处的值处的值处的值。。。。解答解答解答解答：：：：42222()(3)41[(3)4]1{[(3)4]1}1,(3)113134PxxxxxxxxxxxxxP=-+-+=-+-+=-+-+=×+=题目题目题目题目8888.用观测恒星的方法求得某地纬度为用观测恒星的方法求得某地纬度为用观测恒星的方法求得某地纬度为用观测恒星的方法求得某地纬度为450'2''°（（（（读到秒读到秒读到秒读到秒），），），），试问计算试问计算试问计算试问计算sinφ将有多大的将有多大的将有多大的将有多大的误差误差误差误差？？？？解答解答解答解答：：：：略略略略。。。。题目题目题目题目9999.有近似值有近似值有近似值有近似值2.41x=，，，，1.84y=，，，，2.35z=且都有且都有且都有且都有3位有效数字位有效数字位有效数字位有效数字，，，，试计算试计算试计算试计算sxyz=+，，，，问问问问s有几位有效数字有几位有效数字有几位有效数字有几位有效数字？？？？解答解答解答解答：：：：题目题目题目题目10101010.计算函数值计算函数值计算函数值计算函数值6(2)(21)f=-，，，，取取取取21.4≈，，，，直接计算直接计算直接计算直接计算(2)f，，，，再分别利用再分别利用再分别利用再分别利用如下等价变形公式计算如下等价变形公式计算如下等价变形公式计算如下等价变形公式计算：：：：（（（（1））））161(2)(21)f=+（（（（2））））231(2)(322)f=+（（（（3））））33(2)(322)f=-（（（（4））））4(2)99702f=-哪一个计算公式最好哪一个计算公式最好哪一个计算公式最好哪一个计算公式最好（（（（即在可微函数的传播中误差最小即在可微函数的传播中误差最小即在可微函数的传播中误差最小即在可微函数的传播中误差最小）？）？）？）？解答解答解答解答：：：：直接计算有直接计算有直接计算有直接计算有333123342(2)4.09610,(2)5.23310,(2)5.12510(2)810,(2)1.ffffff----=×=×=×=×=最好若若若若由算法设计上判断由算法设计上判断由算法设计上判断由算法设计上判断，，，，因因因因对应函数为对应函数为对应函数为对应函数为（（（（1））））161()(1)fxx=+（（（（2））））231()(32)fxx=+（（（（3））））33(2)(32)fx=-计算方法及计算方法及计算方法及计算方法及MATLABMATLABMATLABMATLAB实现实现实现实现····习题集习题集习题集习题集©郑勋烨郑勋烨郑勋烨郑勋烨第第第第4页页页页共共共共95页页页页（（（（4））））4()9970fxx=-若自变量的相对误差为若自变量的相对误差为若自变量的相对误差为若自变量的相对误差为δ，，，，则由可微函数的误差传播公式则由可微函数的误差传播公式则由可微函数的误差传播公式则由可微函数的误差传播公式δ()fx≤sup'()fxδ，，，，我们有我们有我们有我们有δ1()fx≤0.014δ，，，，δ2()fx≤0.00531δ，，，，δ3()fx≤0.24δ，，，，δ4()fx≤70δ。。。。显然显然显然显然，，，，用用用用231()(32)fxx=+最好最好最好最好，，，，即在可微函数的传播中误差最小即在可微函数的传播中误差最小即在可微函数的传播中误差最小即在可微函数的传播中误差最小。。。。BBBB类题目类题目类题目类题目题目题目题目题目1111.计算累加计算累加计算累加计算累加∑=10121kk的近似值的近似值的近似值的近似值,分别用分别用分别用分别用100141111012+++=∑=⋯kk，，，，和和和和1811100111012+++=∑=⋯kk，，，，哪个算法有效哪个算法有效哪个算法有效哪个算法有效？？？？为什么为什么为什么为什么？？？？解答解答解答解答：：：：100141111012+++=∑=⋯kk≈1.53，，，，1811100111012+++=∑=⋯kk≈1.54；；；；精确值约为精确值约为精确值约为精确值约为1.549。。。。第二第二第二第二个算法有效个算法有效个算法有效个算法有效，，，，可以避免可以避免可以避免可以避免““““大数吃掉小数大数吃掉小数大数吃掉小数大数吃掉小数””””。。。。题目题目题目题目2222.使用保留使用保留使用保留使用保留3位有效数字的舍入近似法位有效数字的舍入近似法位有效数字的舍入近似法位有效数字的舍入近似法（（（（五舍六入五舍六入五舍六入五舍六入））））计算数值计算数值计算数值计算数值：：：：（（（（1））））1330.921+；；；；（（（（2））））1330.499-（（（（3））））2997×；（；（；（；（4））））227117π-解答解答解答解答：：：：（（（（1））））1330.921+≈134，，，，绝对误差绝对误差绝对误差绝对误差0.079，，，，相对误差相对误差相对误差相对误差45.910-×；；；；（（（（2））））1330.499-≈133，，，，绝对误差绝对误差绝对误差绝对误差0.499，，，，相对误差相对误差相对误差相对误差33.7710-×；；；；（（（（3））））2997×≈0.286，，，，绝对误差绝对误差绝对误差绝对误差42.8610-×，，，，相对误差相对误差相对误差相对误差33.7710-×；；；；计算方法及计算方法及计算方法及计算方法及MATLABMATLABMATLABMATLAB实现实现实现实现····习题集习题集习题集习题集©郑勋烨郑勋烨郑勋烨郑勋烨第第第第5页页页页共共共共95页页页页（（（（4））））227117π-≈0.00，，，，绝对误差绝对误差绝对误差绝对误差0.0215，，，，相对误差相对误差相对误差相对误差1.00；；；；题目题目题目题目3333.为计算为计算为计算为计算3.14159265π=⋯的近似值的近似值的近似值的近似值，，，，使用使用使用使用计算公式计算公式计算公式计算公式114arctanarctan4