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第二章连续系统的时域分析微分方程的经典解法0+和0-初始值零输入响应与零状态响应冲激响应和阶跃响应卷积积分2.1LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解微分方程的经典解:y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解)齐次解是齐次微分方程yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。特解的函数形式与激励函数的形式有关。齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关,而与激励f(t)数形式无关,称为系统的固有响应或自由响应;特解的函数形式由激励确定,称为强迫响应。全响应=齐次解(自由响应)+特解(强迫响应)齐次解:写出特征方程,求出特征根(自然频率或固有频率)。根据特征根的特点,齐次解有不同的形式。一般形式(无重根):特解:根据输入信号的形式有对应特解的形式,用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时,特解就是稳态解。用初始值确定积分常数。一般情况下,n阶方程有n个常数,可用个n初始值确定。nitihieCtr1)(i为特征根[例2.1.1]描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t),求(1)当f(t)=2,t≥0;y(0)=2,y’(0)=-1时的全解;(2)当f(t)=,t≥0;y(0)=1,y’(0)=0时的全解。te2te解:(1)特征方程为+5λ+6=0其特征根λ1=–2,λ2=–3。齐次解为2ttheCeCty2221)(由表2-2可知,当f(t)=2时,其特解可设为ttttePePePe26)(5将其代入微分方程得解得P=1于是特解为全解为:tpety)(tpPety)(tttpheeCeCtytyty3221)()()(te其中待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2,y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3,C2=–2最后得全解ttteeety3223)((2)齐次解同上。当激励f(t)=时,其指数与特征根之一相重。由表知:其特解为yp(t)=(P1t+P0)代入微分方程可得P1=te2所以P1=1但P0不能求得。全解为te2te2te2tttttttteeCePCePteeCeCty2322012023221)()(将初始条件代入,得:y(0)=(C1+P0)+C2=1,y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得C1+P0=2C2=–1最后得微分方程的全解为上式第一项的系数C1+P0=2,不能区分C1和P0,因而也不能区分自由响应和强迫响应。tttteeety2322)(二、关于0-和0+初始值1、0-状态和0+状态0-状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的;0+状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能,还受激励的影响。从0-状态到0+状态的跃变当系统已经用微分方程表示时,系统的初始值从0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。如果包含有(t)及其各阶导数,说明相应的0-状态到0+状态发生了跳变。0+状态的确定已知0-状态求0+状态的值,可用冲激函数匹配法。求0+状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。各种响应用初始值确定积分常数在经典法求全响应的积分常数时,用的是0+状态初始值。在求系统零输入响应时,用的是0-状态初始值。在求系统零状态响应时,用的是0+状态初始值,这时的零状态是指0-状态为零。2、冲激函数匹配法目的:用来求解初始值,求(0+)和(0-)时刻值的关系。应用条件:如果微分方程右边包含δ(t)及其各阶导数,那么(0+)时刻的值不一定等于(0-)时刻的值。原理:利用t=0时刻方程两边的δ(t)及各阶导数应该平衡的原理来求解(0+))(...)()()(...)()()1('210)('10tbtbtbbtyatyatyammnn①m≤n,则设0)(...)()(...)(...)()()(...)()()1()(12)2()1(01)1()(tytyCtyCtCtCtyCtCtCtymnmmnmmnmmn②mn,则设1)1(12)2()1(01)1()(...)()(...)(...)()()(...)()(nnmmmmnmmnCtCtyCtCtCtyCtCtCty将y(t)及其各阶导数带入原方程,求出C0….Cm;对y(t)及各阶导数求(0-,0+)的积分.[例2.1.2]:描述某系统的微分方程为y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t),已知y(0-)=2,y’(0-)=0,f(t)=u(t),求y(0+)和y’(0+)。解:将输入f(t)=u(t)代入上述微分方程得y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ(t)+6u(t)列式得:0)()()()('''tyatybtaty代入原方程得a=2,b=0由上可见,当微分方程等号右端含有冲激函数(及其各阶导数)时,响应y(t)及其各阶导数中,有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时,则不会跃变。20)0()0(22)0()0(''yyyy0)0()0(2)0()0(''yyyy从0-到0+积分得:0)(2)(0)(2)('''tytytty得:三、零输入响应和零状态响应1、定义:(1)零输入响应:没有外加激励信号的作用,只有起始状态所产生的响应。(2)零状态响应:不考虑起始时刻系统储能的作用,由系统外加激励信号所产生的响应。LTI的全响应:y(t)=yx(t)+yf(t)2、零输入响应(1)即求解对应齐次微分方程的解①特征方程的根为n个单根当特征方程的根(特征根)为n个单根(不论实根、虚根、复数根)λ1,λ2,…,λn时,则yx(t)的通解表达式为tnttxneCeCeCty...)(2121②特征方程的根为n重根当特征方程的根(特征根)为n个重根(不论实根、虚根、复数根)λ1=λ2=…=λn时,yx(t)的通解表达式为:tnnttxnetCteCeCty121...)(21(2)求yx(t)的基本步骤①求系统的特征根,写出yx(t)的通解表达式。③将确定出的积分常数C1,C2,…,Cn代入通解表达式,即得yx(t)。②由于激励为零,所以零输入的初始值:确定积分常数C1,C2,…,Cn)0()0()()(ixixyy3、零状态响应(1)即求解对应非齐次微分方程的解(2)求yf(t)的基本步骤①求系统的特征根,写出的通解表达式yfh(t)。②根据f(t)的形式,确定特解形式,代入方程解得特解yfp(t)④将确定出的积分常数C1,C2,…,Cn代入全解表达式,即得。③求全解,若方程右边有冲激函数(及其各阶导数)时,根据冲激函数匹配法求得,确定积分常数C1,C2,…,Cn)0()(ify几种典型自由项函数相应的特解[例2.1.3]:描述某系统的微分方程为y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t),已知y(0-)=2,y’(0-)=0,f(t)=u(t)。求该系统的全响应,零输入响应和零状态响应。解:(1)y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ(t)+6u(t)利用系数匹配法分析列式得:y’’(t)=aδ(t)+b,y’(t)=a,y(t)=0代入原方程得a=2,b=020)0()0(22)0()0(''yyyy根据微分方程经典求法:齐次解:齐次解形式为:特解,根据特解形式得到:解得B=3解得全响应为:022ttheCeCty221)(Btyp)(3)(221tteCeCty利用初始值解得:全响应为:0121CC3)(2tety瞬态分量稳态分量(2)零输入响应yx(t),激励为0,yx(0+)=yx(0-)=y(0-)=2yx’(0+)=yx’(0-)=y’(0-)=0根据特征根求得通解为:ttxeCeCty221)(4221CC解得系数为代入得0,42)(2teetyttx(3)零状态响应yf(t)满足y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ(t)+6u(t)利用系数匹配法解得:00)0()0(22)0()0(''ffffyyyy对t0时,有yf”(t)+3yf’(t)+2yf(t)=6其齐次解为其特解为常数3,于是有根据初始值求得:4121CCtftffheCeCty221)(3)(221tftffeCeCty034)(2teetyttf,自由响应+强迫响应(Natural+forced)零输入响应+零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应+稳态响应(Transient+Steady-state)四.系统响应划分相互关系零输入响应是自由响应的一部分,零状态响应有自由响应的一部分和强迫响应构成。0)34()42()()(3)(222teeeetytyetyttttfxt,自由响应强迫响应零输入响应零状态响应Htth一.冲激响应1.定义系统在单位冲激信号δ(t)作用下产生的零状态响应,称为单位冲激响应,简称冲激响应,一般用h(t)表示。2.2冲激响应和阶跃响应[例2.2.1]描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。解:根据h(t)的定义有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ(t)h’(0-)=h(0-)=0,利用冲激函数匹配法,设:h”(t)=aδ(t)+bh’(t)=ah(t)=0解得:a=1,b=-5h(0+)=h(0-)=0h’(0+)=1+h’(0-)=1微分方程的特征根为故系统的冲激响应为代入初始条件求得C1=1,C2=-1,所以3221)()()(3221tueCeCthtt)()()(32tueethtt对t0时,h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0,故系统的冲激响应为齐次解。[例2.2.2]描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f”(t)+2f’(t)+3f(t),求其冲激响应h(t)。解:根据h(t)的定义有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)(1)h’(0-)=h(0-)=0先求h’(0+)和h’(0-),根据冲激函数匹配法得:h”(t)=aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+dh’(t)=aδ’(t)+bδ(t)+ch(t)=aδ(t)+b带入方程求得:a=1,b=-3,c=12,d=-42故h(0+)=–3,h’(0+)=12对t0时,有h”(t)+6h’(t)+5h(t)=0微分方程的特征根为故系统的冲激响应为3221)()()(3221tueCeCthtt所以:h(t)=δ(t)+bh’(t)=δ’(t)-3δ(t)+ch”(t)=δ”(t)-3δ’(t)+12δ(t)+d代入初始条件h(0+)=–3,h’(0+)=12求得C1=3,C2=–6,所以结合式h(t)=δ(t)+b得:)()63()(32tueethtt)()63()()(32tueetthtt系统的输入e(t)=u(t),其响应为r(t)=g(t)。系统方程的右端将包含阶跃函数u(t),所以除了齐次解外,还有特解项。我们也可以根据线性时不变系统特性,利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。二.阶跃响应1.定义系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应,称为单位阶跃响应,简称阶跃响应,一般用g(t)表示。Htutgtt0,对因果系统:积分,注意积分限:阶跃响应是冲激响应的-2.阶跃响应与冲激
本文标题:信号和系统郑君里版第二章
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