高一数学(人教A版)必修2课件：第三章-直线与方程

第三章章末归纳总结直线与方程倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角范围：[0°，180°斜率定义：倾斜角αα≠90°的正切值叫做这条直线的斜率，即k＝tanα斜率公式：过两点P1x1，y1，P2x2，y2x1≠x2的直线的斜率公式：k＝y2－y1x2－x1两条直线平行的判定：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2的斜率均不存在两条直线垂直的判定：l1⊥l2⇔k1k2＝－1或l1斜率不存在，l2的斜率为0专题一直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．(1)倾斜角的范围是[0°，180°)．(2)倾斜角与斜率的对应关系①α≠90°时，k＝tanα；②α＝90°时，斜率不存在．(3)倾斜角与斜率的单调性问题当直线l的倾斜角α从0°增大到90°时，直线l的斜率从0增大到＋∞；当直线l的倾斜角α从90°增大到180°时，直线l的斜率从－∞增大到0.(4)斜率公式：经过A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)，应用时注意其适用的条件x1≠x2，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．[例1]已知直线l过点P(－1,2)且与以A(－2，－3)、B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．[分析]利用数形结合思想，观察直线的变化情况，根据斜率公式及范围求解，要特别注意当直线与x轴垂直时的情形．[解析]如图所示，直线PA的斜率kPA＝2－－3－1－－2＝5，直线PB的斜率kPB＝0－23－－1＝－12.当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是[5，＋∞)，当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围是(－∞，－12]．∴直线l的斜率的取值范围是(－∞，－12]∪[5，＋∞)．规律总结：借助数形结合思想既可以定性地分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量地求解倾斜角与斜率的取值范围，此外在特殊位置处应利用分类讨论的思想方法．专题二直线方程的五种形式的应用问题[例2]已知△ABC中，A(1,3)，AB、AC边上中线方程为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程．[分析]本题利用中线的特点(即AB的中点D在AB边的中线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方程．[解析]设AB、AC边的中线分别为CD、BE，其中D、E为中点，∵点B在中线y－1＝0上，∴设点B的坐标为(xB,1)．∵点D为AB的中点，又点A的坐标为(1,3)，∴点D的坐标为(xB＋12，2)．∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，∴xB＋12－2×2＋1＝0，∴xB＝5.∴点B的坐标为(5,1)．∵点C在直线x－2y＋1＝0上，∴设点C的坐标为(2t－1，t)．∴AC的中点E的坐标为(t，t＋32)．∵点E在中线BE：y＝1上，∴t＋32＝1，∴t＝－1.∴点C的坐标为(－3，－1)，∴△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0；BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0.专题三两条直线的位置关系(1)已知直线的斜截式方程：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1；l1与l2相交⇔k1≠k2.(2)已知直线的一般式方程：l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则：l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0；l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1.(3)与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程可设为Ax＋By＋C1＝0；与其垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0.[例3]已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，分别求满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．[分析]对于(1)，由题意列出关于a，b的方程组求解；对于(2)，先得出关于a，b的关系，再由原点到l1，l2的距离相等求解．[解析](1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)＝0，即a2－a－b＝0.①又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝2.(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，∴l1的斜率也存在，ab＝1－a，b＝a1－a，故l1与l2的方程分别为l1：(a－1)x＋y＋4a－1a＝0，l2：(a－1)x＋y＋a1－a＝0.∵坐标原点到l1，l2的距离相等，∴4|a－1a|＝|a1－a|，a＝2或a＝23.因此a＝2，b＝－2，或a＝23，b＝2.专题四点、直线间的距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22.(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离为d＝|C1－C2|A2＋B2.(4)当直线垂直于坐标轴时画图求解即可，不必用公式．求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的形式；求两条平行线间的距离时，先把平行线方程中x，y的对应项系数转化为相等的形式，再利用距离公式求解，也可转化成点到直线的距离求解．[例4]已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是7105.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的12；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是25.若能，求出P点坐标；若不能，说明理由．[解析](1)l2即2x－y－12＝0，∴l1与l2的距离d＝|a－－12|22＋－12＝7510，∴|a＋12|5＝7510，∴|a＋12|＝72，∵a0，∴a＝3.(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上，且|C－3|5＝12·|C＋12|5，即C＝132或C＝116，∴2x0－y0＋132＝0，或2x0－y0＋116＝0；若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x0－y0＋3|5＝25·|x0＋y0－1|2，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；由于P在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能．联立方程2x0－y0＋132＝0和x0－2y0＋4＝0，解得x0＝－3y0＝12，应舍去．由2x0－y0＋116＝0x0－2y0＋4＝0，解得x0＝19y0＝3718.∴P(19，3718)即为同时满足三个条件的点．专题五分类讨论的思想在解题过程中，遇到某一步被研究的对象包含多种可能的情形时，把被研究的对象划分成几个能用不同形式去解决的小问题，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想．利用分类讨论的思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点问题之一，这是因为：其一，分类讨论的问题都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力及分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题相结合．[例5]已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段的长为5，求直线l的方程．[错解]设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，解方程组y＝kx－3＋1，x＋y＋1＝0得x＝3k－2k＋1，y＝－4k－1k＋1.∴直线l与l1交于A(3k－2k＋1，－4k－1k＋1)．解方程组y＝kx－3＋1，x＋y＋6＝0得x＝3k－7k＋1，y＝－9k－1k＋1.∴直线l与l2交于B(3k－7k＋1，－9k－1k＋1)．由题意，得|AB|＝5，∴(3k－2k＋1－3k－7k＋1)2＋(－4k－1k＋1＋9k－1k＋1)2＝52，解得k＝0.∴所求直线l的方程为y＝1.[剖析]直线的点斜式方程是以直线斜率存在为前提的，当直线斜率不存在时，不能建立和使用直线的点斜式方程．在错解中，设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，已经默认了直线l的斜率存在，从而漏去了直线l斜率不存在的情况，而本题中过P点且斜率不存在的直线恰好符合题意，所以错解丢掉了一个解．过点P作两条已知平行直线的第一线，被两平行直线截得的线段长度d恰好是两平行直线之间的距离d(如右图)．当直线绕点P转过一个角度φ(φ为锐角)，直线被两平行直线截得的线段长度增大到dcosφ，由右图可知φ与直线和平行直线中任一条所成的角θ互为余角，所以截线段的长度也可表示为dsinθ.[正解]正解1：若直线l的斜率存在，由前面解法，知所求直线l的方程为y＝1.若直线l的斜率不存在，则直线方程为x＝3，此时与l1和l2的交点分别为A(3，－4)和B(3，－9)，截得的线段AB的长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．综上所述，直线l的方程为y＝1或x＝3.正解2：由题意，直线l1，l2之间的距离为d＝|1－6|2＝522，且直线l1∥l2，又直线l被直线l1，l2所截得的线段AB长为5，如右图，设直线l与直线l1的夹角为θ，则sinθ＝5225＝22，∴θ＝45°.∵直线l1：x＋y＋1＝0的倾斜角为135°，∴直线l的倾斜角为0°或90°.又直线l过点P(3,1)，∴直线l的方程为y＝1或x＝3.[点评]由上面分析可知，求过一定点，且被两已知平行直线截得线段长为定长a的直线，当a小于两平行直线之间的距离d时无解；当a＝d时有唯一解；当ad时有且只有两个解．此题按以上思路分析，先求出夹角θ后再求直线l的斜率或倾斜角，从方法上看较为简便，即解法2较为简便．