隐函数

隐函数刘玉堂聊城大学数学科学学院一、隐函数•1.隐函数的概念•之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如•这种开式的函数称为显函数。•但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定，通常称为隐函数。例如：21,(sinxysinyzsinzx).xyzyxue•设，函数对于方程（1）•如果存在集合对任何有惟一确定的使得且满足方程（1），则称方程（1）确定了一个定义在上的隐函数。•若把它记为•则成立恒等式•所以，隐函数必须在指出确定它的方程以23330.xyzxy2E2:.FE,0,Fxy,E,IJ,xI,yJ,,xyEI,,,yfxxIyJ,0,.FxfxxI•及的取值范围后才有意义。当然在不产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明。此外，还需指出：•（I）并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程当时，就不能确定任何函数，使得而只有当，才能确定隐函数。•（II）倘若方程（1）能确定隐函数，一般,xy220.xyc0c220.xyxc0c•并不像前面的一些例子那样，能从方程解出，并用自变量的算式来表示。•因此，在一般情况下，我们主要考虑方程（1）能否确定隐函数以及这个隐函数的连续性、可微性等性质，而不管它是否能用显式表示。•二、隐函数存在性条件的分析•现在的问题是：当函数满足哪些条件,Fxy•时，由方程（1）能确定隐函数并且该隐函数具有连续、可微等性质？•首先，可以看作曲面与坐标平面•的交线，因此隐函数要存在，至少此交集不能为空，即存在使•其次，方程（1）能在点附近确定一个连续函数，表现为上述交集是一条通过点的连续曲线段。如果曲面存,yfxyfx,zfxy0z000,Pxy0000,0,.Fxyyfx000,Pxy000,Pxy,zfxy•在切平面，且切平面与坐标平面相交于直线，那么曲面在点附近亦必与坐标平面相交（其交线在此点处的切线正是）。为此，设在点可微，且(2)•则可使上述切平面存在，并满足与相交成直线的要求。•如果进一步要求上述隐函数在0zl,zfxy000,Pxy0zlF0P00,0,0,xyFPFP0zyfxxgy或•点可微，则在为可微的假设下，通过方程（1）在处对求导，依链式法则得到(3)•当时，可由（3）解出•(4)•类似地，当时，通过方程（1）对求导后也可解出0PFx0P0000.xyxxdyFPFPdx00yFP000.xxxyFPdydxFP00xFPy000.yxxyFPdxdyFP•由此可见，条件（2）不仅对于隐函数的存在性，而且对于隐函数的求导同样是重要的。•三、隐函数定理•定理18.1（隐函数存在惟一性定理）若函数满足下列条件：（I）在以为内点的某一区域上连续，（II）（通常称为初始条件），（III）在D内存在连续偏层数，（IV）,FxyF000,Pxy2D00,0Fxy00,0.yFxyF•则1）存在点的某领域，在上方程惟一地决定了一个定义在某区间上的隐函数使得时，且•2）在上连续。•证先证隐函数的存在性与惟一性。•由条件（IV），不妨设由条件（III）在D上连续，由连续函数的保号性，0P0UPD0UP,0Fxy00,xx,yfx00,xxx0,,xfxUP0000,0,;Fxfxfxyfx00,xx00,0.yFxyyF•存在点的某一闭的方领域使得在其上每一点都有因而，对每个固定的作为的一元函数，必定在上严格增且连续。由初始条件（II）可知再由的连续性条件（I），又可知道与在上也是连续的。因此由保号性存在当时恒有F0P0000,,,xxyyD,0.yFxy00,,xxx,Fxyy00,yy0000,0,,0.FxyFxy0,Fxy0,Fxy00,xx0,00,xxx•如图18-2所示，在矩形底边上F取负值，在上部的边上F取正值。因此对上每个固定值，同样有根据前面已指出的在上严增且连续，由介值性定理知存在惟一的，满足由在中的任意性，这就证明了存在惟一的一个隐函数它的定义域为，值域含于00,0,,0.FxyFxy00,xxx00,0,,0.FxyFxy,Fxy00,yy00,yyy,0.Fxyx00,xx,yfx00,xx00,.yy若记则在上满足结论1）的各项要求。再证明的连续性。对于上的任意点。则由上述结论可知任给且足够小，使得由及关于严格递增，可得根据保号性，知存在某领域使得当00000,,,UPxxyyyfx0UPf00,xx,xyfx00.yyy000.yyyyy,0Fxy,Fxyy,0,,0,FxyFxyx00,,,xxxx时同样有•因此存在惟一的，使得即这就证明了当时，，即在连续。由的任意性，可得在上连续。•注意1.定理18.1的条件仅仅是充分的。不满足条件IV）的仍能确定惟一的连续函数。当然，由于此条件不满足，往往导致定理,xxx,0,,0.FxyFxyy,0,Fxy,.yfxyyxxfxfxfxxxfx00,xx•的结论失效，例如，中心在原点的双纽线，它满足前三个条件，不满足第四个条件，致使在原点的无论怎样小的领域内都不可能存在惟一的隐函数。•2.在定理证明过程中，条件III)和IV）只是用来保证存在点的某一领域，在此领域函数F关于变量Y是严格单调的。因此对于本定理所要证明的结论来说，可以把这两个条件减弱为“F在P0的某一领域上关于第二个变量严格单调”。现在使用较强的条件III)和IV）•只是为了在实际应用中便于检验。•3.如果把定理的条件III)和IV）改为FX连续，且FX（X,Y）不为零。这时结论是存在惟一的连续函数X=G（Y）。•定理18.2（隐函数可微性定理）设满足隐函数存在惟一性定理中的条件I）-IV)，又设在D上还存在连续的偏导数，则由方程（1）所确定的隐函数在其定义域上有连续导函数，且•证明（略。）•像在第二段里分析的那样，若已知方程（1）确实存在连续可微的隐函数，则可对方程（1）应用复合函数求导法得到隐函数的导数，因为,Fxy,xFxyyfx.xyFxfxFx•这时把看作与的复合函数时，有•定理18.3若（I）函数在以点为内点的区域上连续，•（II）•（III）偏层数在D上存在且连续，•（IV）•则1）存在点P0的某邻域U(P0)，在U(P0)上方程惟一地确定一个在,Fxy,Fxyfx,,0.xyFxyFxyy12,,,,nFxxxy0000012,,,,nPxxxy1nD000012,,,,0,nFxxxy12,,,,nxxxyFFFF000012,,,,0,ynFxxxy12,,,,0nFxxxy000012,,,nQxxx•某邻域上的元连续函数（隐函数），使得当时，和•2）在上有连续偏导数而且•四隐函数求导举例（略）0nUQn12,,,nyfxxx120,,,nxxxUQ12120,,,,,,,,nnxxxfxxxUP0000121212,,,,,,,0,,,,.nnnFxxxfxxxyfxxx12,,,nyfxxx0UQ12,,,,nxxxfff1212,,,.nnxxxxxxyyyFFFfffFFF