数学建模五步法案例

数学建模五步法小论文问题再现：一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利1500美元,估计每100美元的折扣可以使销售额提高15%。⑴多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。⑵对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。⑶假设实际每100美元的折扣仅可以使销售额提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值,结果以如何。⑷什么情况下折扣会导致利润的降低？问题一：一、问题的提出1.具体问题（1）多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。（2）对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。（3）假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值,结果以如何.（4）什么情况下折扣会导致利润的降低。2.符号的说明（1）每辆汽车的成本C；（2）折扣前的销量n；（3）折扣后的销量'n；（4）折扣前每辆车的价格P；（5）折扣后每辆车的价格'P；（6）折扣前的销售额R；（7）折扣后的销售额'R；（8）折扣前的利润L；（9）折扣后的利润'L；由题意：折扣前的利润1500)(CPnL,设折扣为x时，可使利润最高。此时假设活动一次性完成，即厂家一次性降低x100美元，销售额提高x%15可使利润最高。二、选择建模方法则由题中已知条件可得方程组)'('')15.01('1500100'CPnLxnnCPxPP三、推导模型公式由各关系式可推出折扣后的利润函数为：)1001500)(15.01()100)(15.01('xxnCxPxnL四、求解模型已知厂商折扣后的利润函数为：)1001500)(15.01()100)(15.01('xxnCxPxnL为使厂商利润最大，令0)2031(100)1001500(203'xnxndxdL解得：2.4625x五、回答问题一般情况下，无论n值取多少，厂商为了使得利益最大，都会选择降价420美元左右。问题二：灵敏性分析题中估计每折扣100美元销售量提高15%，现在假设其实际值是不同的，对几个不同的值13%，14%，16%，17%，重复问题一中的求解过程,以此来分析销售量提高率的敏感程度。同理，还是对厂商利润函数L求导，使之等于0解得不同提高率下的降价金额如表1所示：表1不同提高率下的降价金额销售量提高率降价金额（美元）13%365.414%392.915%42016%437.517%455.9利用表2中数据在matlab中画图，输入命令：x=[0.130.140.150.160.17];y=[365.4392.9420437.5455.9];plot(x,y,'*')得图2：0.130.1350.140.1450.150.1550.160.1650.170.175360370380390400410420430440450460图2由图可以看到厂商需降价的金额对销量的提高率是很敏感的。问题三：若实际每100美元的折扣仅可以使销售额提高10%，同样我们可以通过对利润函数求导，并令导数等于0，求得相应的x值是2.5，即厂商欲获利最大，需将价格下降250美元；假设销量提高率在10%到15%之间的某一个数，我们设为r，则)15.0,10.0(r，通过对利润函数求导使之等于0得到：75.0212115rrrx，)15.0,10.0(r当)15.0,10.0(r时，每个r都对应着一个应降价的金额，利用matlab做其函数关系如图3输入命令：x=[0.100.110.120.130.140.15];y=7.5-1./(2*x)plot(x,y,'*')得图3：0.10.110.120.130.140.150.162.62.833.23.43.63.844.2图3问题四：厂商降价幅度超过最优解x后，接着降价则会导致厂商总利润降低。