指数函数

一、问题引入问题三、认真观察并回答下列问题：(1)、一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折x次所得层数为ｙ，则y与x的函数关系是：2,()xyxN(2)、一根1米长的绳子从中间剪一次剩下米，再从中间剪一次剩下米，若这条绳子剪x次剩下y米，则y与x的函数关系是：12141,()2xyxN问题1折纸问题问题2剪绳子问题*)(2Nxyx*21Nxyx思考：观察上面两个函数，有没有共同特征，能否把它们归为一类？1.幂的形式2.幂的底数是一个正的常数3.幂的指数是一个变量。xay指数函数的概念形如y=ax函数叫做指数函数指数自变量底数(a0且a≠1)常数x(1)y=1.07357301(2)()2tp当a0时，ax有些会没有意义，如(-2),0等都没有意义；212101a而当a=1时，函数值y恒等于1，没有研究的必要.思考:为何规定a0，且a1?二、新课▲关于指数函数的定义域：回顾上一节的内容，我们发现指数中p可以是有理数也可以是无理数，所以指数函数的定义域是R。pa231.23,2.123.3,4.0.35.3,6.47.(32)xxxxxxxyyyyyyya判断下列函数是不是指数函数：2(232)()0,1()111()()122xyaaaaAaaBaCaDaa练习：函数是指数函数，则的取值范围是（）或问题2：如何画出指数函数的图像呢？问题1：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的方法吗？研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数的性质；研究内容：定义域、值域、单调性、最大(小)值、奇偶性．12,2xxyy描点法：列表------描点-------连线x-2-1012x2x211/41/21244211/21/4yx0y＝2xy=1()2x1234567887654321-3-2-1-1-2-3x-2-1.5-1-0.500.511.52y0.350.711.412.832xy列表画图0.250.5124和的图象有什么关系？，xy2xy)21(和的图象关于y轴对称，xy2xy)21(和的图象关于y轴对称xayxayy=f(x)与y=f(-x）的图像关于y轴对称问题3：你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？你能根据指数函数的图象概括、归纳指数函数的性质吗？x)31(yx3y练习：在同一坐标系中画出下列函数的图象：XOYY=1y=3Xy=2x观察右边图象，回答下列问题：问题一：图象分别在哪几个象限？问题二：图象的上升、下降与底数a有联系吗？问题三：图象中有哪些特殊的点？答：四个图象都在第＿＿＿＿象限答：当底数＿＿时图象上升；当底数＿＿＿＿时图象下降．答：四个图象都经过点＿＿＿＿．Ⅰ、Ⅱ1a01a)1,0(xy)21(xy)31(顺图象a10a1性质(1)定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)(2)图像都过点(0，1)，当x=0时，y=1（4）是R上的增函数（4）是R上的减函数（3）当x0时,y1;x0时,0y1（3）当x0时,0y1;x0时,y1问题:你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？练习：例1、已知指数函数f(x)=ax(a0,且a≠1）的图象经过点（3，π），求f(0)、f(1)、f(-3)的值.23)1(xyxy121)2(1求下列函数的定义域值域：xxyy21)4(1)31()3(xxy)12()5(练习、函数y＝ax－3＋2（a＞0，且a≠1）必经过哪个定点？练习、函数y＝ax+1-1（a＞0，且a≠1）必经过哪个定点？练习：若指数函数y=（2a-1)x是减函数，求实数a的取值范围.指数函数的概念形如y=ax函数叫做指数函数指数自变量底数(a0且a≠1)常数图象a10a1性质(1)定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)(2)图像都过点(0，1)，当x=0时，y=1（4）是R上的增函数（4）是R上的减函数（3）当x0时,y1;x0时,0y1（3）当x0时,0y1;x0时,y19)31()1(xy求定义域函数y＝ax+2+1（a＞0，且a≠1）必经过哪个定点？练习【例2】比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5，1.73；（2）0.8－0.1，0.8－0.2；（3）1.70.3，0.93.1.方法引导：比较两数值的大小，常可以归结为比较两函数值的大小，所以需要我们能够恰当地构造函数，使两数值为同一函数的两个函数值，然后根据函数的单调性来比较大小.有时也需要借助中间量0，1来过渡。P59T712213,1231321,..,..22.10210xyyByyyCyyyDyyyFxfxxfxfx-1.50.90.4812331练习：。设y=4,y=8,y=,则()2A.y是偶函数，且不恒等于，则（　）Ａ．是奇函数，Ｂ．是偶函数Ｃ．可能是奇函数也可能偶函数Ｄ．不是奇函数也不是偶函数练习2、此图是①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（）Aa＜b＜1＜c＜dBb＜a＜1＜d＜cC1＜a＜b＜c＜dDa＜b＜1＜d＜c①②③④213323143,32,2,34.练习2312221()2.32xxx22、解不等式：(1)；(2)3变式1变式2)10(213aaaaxx且的值。求为上的最大值与最小值差，在区间）（变式：函数aaaaaxfx,221)1,0(的值，求和为的变式：最大值和最小值a12练习：23)1(xyxy121)2(1求下列函数的定义域值域：1)31()3(xyxy23)4(2(2)2xxxyy+1例2：说明下列函数的图象与指数函数y=2的图象的关系，并画出它们的示意图(1)=2(3)21(4)2(5)2xxxyyy间并由图像指出其单调区的图象作函数,2xy22xy变式12xy间并由图像指出其单调区的图象作函数,1)21(,212xxyy作业：二、新课2223231(1)3;(2)2;(3)1224.xxxxxxyyy例、求下列函数的单调区间：121)41(3xxy）（)30(x23x例2：求下列函数的值域例3:求函数的单调区间221()2xxy二、新课()()()()(01)(),,,.(1)1,()()(2)1,()fxuxfxfxxfxyaaaufxxDuDDRyaayaRufxDyaDufxDyaDayaRufxDyaDuf一般一、指数型复合函地，对于函数且令则。当时在上单调递增。若在上单增，则在上单增；若在上单减，则在上单减。当0时在上单数的调递减。若在上单增，则在上单单减；若调性：()()fxxDyaD在上单减，则在上单增。同增异减二、新课2223231(1)3;(2)2;(3)1224.xxxxxxyyy例、求下列函数的单调区间：121)41(3xxy）（2212xy求单调区间例：3:当a1时,讨论函数f(x)=的奇偶性和单调性.11xxaa23221xxy）（间求下列函数的单调减区122)4.0(1xxy）（求下列函数的值域12||3(1)[0,2],4325(2)4323[1,7](3)21xxxxxxyyxxmm例、若求的取值范围；若函数的值域为，求范围；已知关于的方程有实根，求实数的取值范围。（2）为奇函数？使得）是否存在实数（的单调性）探索函数（：对于函数)(2)(1)(122)(xfaxfRaaxfx二、新课12||3(1)[0,2],4325(2)4323[1,7](3)21xxxxxxyyxxmm例、若求的取值范围；若函数的值域为，求范围；已知关于的方程有实根，求实数的取值范围。要点梳理1.根式（1）根式的概念如果一个数的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么这个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，则x叫做___________,其中n＞1且n∈N*.式子叫做_____,这里n叫做_________，a叫做___________.指数与指数函数基础知识自主学习a的n次方根na根式根指数被开方数（2）根式的性质①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号____表示.②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n次方根用符号____表示,负的n次方根用符号________表示.正负两个n次方根可以合写为________（a＞0）.③=______.nananananna)(a④当n为奇数时，=____;当n为偶数时，=_______________.⑤负数没有偶次方根.2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：（n∈N*）；②零指数幂：a0=____（a≠0）；③负整数指数幂：a-p=_____（a≠0，p∈N*）；nna||aann)0()0(aaaaa个nnaaaa1pa1④正分数指数幂：=_______（a0，m、n∈N*，且n1）；⑤负分数指数幂：==(a0,m、n∈N*,且n1).⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂_____________.（2）有理数指数幂的性质①aras=______(a0,r、s∈Q);②(ar)s=______(a0,r、s∈Q);③(ab)r=_______(a0,b0,r∈Q).nmanmanmanma1nma1ar+sarsarbr0没有意义3.指数函数的图象与性质y=axa10a1图象定义域___值域___________性质(1)过定点_________(2)当x0时,_____;x0时,_______(2)当x0时,_______;x0时,_____(3)在(-∞，+∞)上是(3)在(-∞，+∞)上是R(0,+∞)(0,1)y1y10y10y1增函数减函数基础自测1.已知a则化简的结果是（）A.B.C.D.解析,4142)14(a14a14aa41a41.41)41()41()14(212244aaaaC2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A.y=x3B.y=-x2+1C.y=|x|+1D.y=2-|x|解析因为y=x3是奇函数，从而可排除A，因为函数y=-x2+1及y=2-|x|在（0，+∞）上单调递减，所以排除B、D.C3.右图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx,（3）y=cx,（4）y=dx的图象,则a，b，c，d与1的大小关系是()A.ab1cdB.ba1dcC.1abcdD.ab1dc解析方法一当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大时，在第一象限内，图象越靠近y轴；当底数大于0且小于1时,图象下降,且在第一象限内,底数越小，图象越靠近x轴.故可知ba1dc,选B.方法二令x=1,由图象知c1d1a1b1,∴ba1dc，故选B.答案B4.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于（）A.5B.7C.9D.11解析∵f（x）=2x+2-x，f（a）=3，∴2a+2-a=3，f（2a）=22a+2-2a=4a+4-a=（2a+2-a）2-2=9-2=7.B5.若函数y=(a2-3a+3)·ax为