立体几何的共线、共点、共面问的题目(教师版)

实用标准文案精彩文档立体几何中的共点、共线、共面问题一、共线问题例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).例2.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。1．如图1，正方体1111ABCDABCD中，1AC与截面1DBC交O点，ACBD，交M点，求证：1COM，，三点共线．证明：连结11AC，1C平面11AACC，且1C平面1DBC，1C是平面11AACC与平面1DBC的公共点．又MACM，平面11AACC．MBDM，平面1DBC．M也是平面11AACC与平面1DBC的公共点．1CM是平面11AACC与平面1DBC的交线．O为1AC与截面1DBC的交点，O平面11AACCO，平面1DBC，即O也是两平面的公共点．实用标准文案精彩文档1OCM∴，即1CMO，，三点共线．2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）．分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．证明∵AB//CD，AB，CD确定一个平面β．又∵AB∩α＝E，ABβ，Eα，Eβ，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线．点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．二、共面问题1.如图3，设PQRSMN，，，，，分别为正方体1111ABCDABCD的棱111111ABBCCCCDADAA，，，，，的中点，求证：PQRSMN，，，，，共面．证明：如图3，连结1ABMQNR，，．PN，分别为1ABAA，的中点，1ABPN∥．111ADBCAMBQ，∥∥．MQ，分别为11ADBC，的中点，1AMBQ．四边形1ABQM为平行四边形．1ABMQ∥．PNMQ∥．因此，直线PNMQ，可确定一个平面．同理，由PQNR∥可知，直线PQNR，确定一个平面．过两条相交直线PNPQ，有且只有一个平面，与重合，即R．同理可证S．因此，PQRSMN，，，，，共面．实用标准文案精彩文档例4.直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.例5.证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点.求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内例6.已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分别是两条异面直线l1和l2上的任意三点，M、N、R、T分别是A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中点.求证：M、N、R、T四点共面.例7.在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足MBAM＝NBCN＝QDAQ＝PDCP＝k.(1)求证：M、N、P、Q共面.实用标准文案精彩文档(2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)三、共点问题例8.三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.1.如图2，已知空间四边形ABCDEF，，分别是ABAD，的中点，GH，分别是BCCD，上的点，且2BGDHGCHC，求证：EGFHAC，，相交于同一点P．错解：证明：E、F分别是AB,AD的中点,EF∥BD,EF=21BD,又2HCDHGCBG,GH∥BD,GH=31BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,2HCDH,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：EF，分别是ABAD，的中点，EFBD∥，且12EFBD．又2BGDHGCHC，GHBD∥，且13GHBD．EFGH∥，且EFGH．四边形EFHG是梯形，其两腰必相交，设两腰EGFH，相交于一点P，EG∵平面ABCFH，平面ACD，P平面ABCP，平面ACD，又平面ABC平面ACDACPAC，．故EGFHAC，，相交于同一点P．2.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在l上，而l是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB，CD必定相交于一点，实用标准文案精彩文档设AB∩CD＝M．又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈α∩β．又∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．1、(1)证明：∵AA1∩BB1＝O,∴AA1、BB1确定平面BAO，∵A、A1、B、B1都在平面ABO内，∴AB平面ABO；A1B1平面ABO.同理可证，BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内.(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.2证明：如图，设AB∩A1B1＝P；AC∩A1C1＝R；∴面ABC∩面A1B1C1＝PR.∵BC面ABC；B1C1面A1B1C1，且BC∩B1C1＝Q∴Q∈PR,即P、R、Q在同一直线上.3解析：∵A、B、C是不在同一直线上的三点∴过A、B、C有一个平面又ABPAB且,.,,lplP则设内内又在既在点.,,,:三点共线同理可证RQPlRlQ4解析：证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.证明∵a∥b,∴过a、b可以确定一个平面α.∵A∈a,aα，∴A∈α,同理B∈a.又∵A∈m，B∈m,∴mα.同理可证nα.∵b∥c,∴过b,c可以确定平面β，同理可证mβ.∵平面α、β都经过相交直线b、m,∴平面α和平面β重合，即直线a、b、c、m、n共面.5、解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内.证明：图①中，l1∩l2＝P，∴l1,l2确定平面α.又l1∩l3＝A,l2∩l3＝C,∴C,A∈α.故l3α.实用标准文案精彩文档同理l4α.∴l1,l2,l3,l4共面.图②中，l1,l2,l3,l4的位置关系，同理可证l1,l2,l3,l4共面.所以结论成立.6、证明如图，连结MN、NR，则MN∥l1,NR∥l2，且M、N、R不在同一直线上(否则，根据三线平行公理，知l1∥l2与条件矛盾).∴MN、NR可确定平面β，连结B1C2，取其中点S.连RS、ST，则RS∥l2，又RN∥l2，∴N、R、S三点共线.即有S∈β，又ST∥l1，MN∥l1，∴MN∥ST，又S∈β，∴STβ.∴M、N、R、T四点共面.7解析：(1)∵MBAM＝QDAQ＝k∴MQ∥BD，且MBAMAM＝1kk∴BDMQ＝ABAM＝1kk∴MQ＝1kkBD又NBCN＝PDCP＝k∴PN∥BD，且NBCNCN＝1kk∴BDNP＝CBCN＝1kk从而NP＝1kkBD∴MQ∥NP，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共面.(2)∵MABM＝k1，NCBN＝k1∴MABM＝NCBN＝k1,MABMBM＝11k实用标准文案精彩文档∴MN∥AC，又NP∥BD.∴MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角.∵MNPQ是正方形，∴∠MNP＝90°∴AC与BD所成的角为90°，又AC＝a，BD＝b，ACMN＝BABM＝11k∴MN＝11ka又MQ＝11kb,且MQ＝MN，1kkb＝11ka，即k＝ba.说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c.求证：a、b、c相交于同一点，或a∥b∥c.证明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b∴a、bβ∴a、b相交或a∥b.(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b而a、bβ，aα∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点又∵α∩γ＝c由公理2知P∈c实用标准文案精彩文档ABCDA1B1C1D1EF∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.(2)当a∥b时∵α∩γ＝c且aα，aγ∴a∥c且a∥b∴a∥b∥c故a、b、c两两平行.由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.题2．S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝2，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN则QN∥SM∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ，设SC＝a，在△BQN中BN＝a25NQ＝21SM＝42aBQ＝a414∴COS∠QNB＝5102222NQBNBQNQBN题3．正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角．答案：45°题4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角．解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，易证∠GNA就是BM与AN所成的角．设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝5，GN＝B1M＝6，cos∠GNA＝1030562556。题5．如图，在正方体1111DCBAABCD中，E、F分别是1BB、CD的中点．求AE与FD1所成的角。BMANCSACBNMA1C1B1实用标准文案精彩文档证明：取AB中点G，连结A1G，FG，因为F是CD的中点，所以GF∥AD，又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角。一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A．515arccosB．4C．510arccosD．2解：连B1G，则A1E∥B1G，知∠B1GF就是异面直线A1E与GF所成的角．在△B1GF中，由余弦定理，得cosB1GF＝222222111(2)(3)(5)2223BGGFBFBGGF＝0，故∠B1GF＝90°，应选(D)．评注：本题是过异面直线FG上的一点G，作B1G，则A1E∥B1G，知∠B1GF就是所求的角，从而纳入三角形中解决．二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2(2005年全国高考浙江卷)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥A