概率论第二章

在前面的学习中,我们用字母A、B、C...表示事件，并视之为样本空间S的子集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。本章，将引入随机变量表示随机事件，以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。第二章随机变量及其分布RandomVariableandDistribution第一节随机变量第二节离散型随机变量及其分布律第三节随机变量的分布函数第四节连续型随机变量及其概率密度第五节随机变量的函数的分布小结主要内容第一节随机变量的概念随机变量概念的引入引入随机变量的意义随机变量的分类(1)、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；9月份南宁的最高温度；每天进入四号教学楼的人数；一、随机变量概念的引入(2)、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.例如:掷硬币试验,考察其正面和反面朝上的情况可规定:用1表示“正面朝上”用0示“反面朝上”结论：不管试验结果是否与数值有关，我们都可以通过引入某个变量，使试验结果与数建立了对应关系这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数.定义域为样本空间S，取值为实数.e.X(e)sR这即为所谓的随机变量（1）它是一个变量,它的取值随试验结果而改变（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，故随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.定义设随机试验的样本空间为S={e}.X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数.称X=X(e)为随机变量.简记为r.v.说明(3)随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N等表示,而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z,w,n等.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究转化为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律二、引入随机变量的意义如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.事件A＝{收到不少于1次呼叫}B＝{没有收到呼叫}{X1}{X=0}而有P{A}=P{X=1}P{B}=P{X=0}我们将研究两类随机变量：三、随机变量的分类这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.随机变量连续型随机变量离散型随机变量第二节离散型随机变量及其分布律离散型随机变量定义离散型随机变量分布律几种常见分布定义1：若随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个,则称X为离散型随机变量.一、离散型随机变量定义例如：1、设X表示抛三次硬币的试验中出现正面朝上的次数.X的可能取值为0，1，2，3.2、设Y表示120急救电话台一昼夜收到的呼次数则Y的可能取值为0,1,2,3,……X和Y都是离散型随机变量其中(k=1,2,…)满足：kp,0kpk=1,2,…（1）kkp1（2）定义2：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称为离散型随机变量X的分布律.用这两条性质判断一个函数是否是分布律12{},,,kkPXxpk二、离散型随机变量的分布律离散型随机变量分布律也可以用列表法表示Xkp12kxxx12kppp离散型随机变量可完全由其分布律来刻划．即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定．解:依据分布律的性质kkXP1)(P(X=k)≥0,1!0aekakka≥0,从中解得即ea例1设随机变量X的分布律为：,!)(kakXPkk=0,1,2,…,试确定常数a.00kkke!X-112P1/31/21/6例2设X的分布律为求P(0X≤2)P(0X≤2)=P（X=1）+P（X=2）=1/2+1/6=2/3解即分布律确定概率例3（课本例1）一汽车在开往目的地的路上需要通过四组信号灯,每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示该汽车首次停下时它已通过的信号灯个数，求X的分布律.(设各组信号灯工作是相互独立)解:依题意,X可取值0,1,2,3,4.以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率Ai={第i个信号灯禁止汽车通过},i=1,2,3,4设43232121211)1(}4{)1(}3{)1(}{}2{)1(}{}{}{}1{}{}0{pXPppXPppAAAPXPppAPAPAAPXPpAPXP（几何分布）故X的分布律为：Xpk01234p(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3P{X=4}=(1-p)4用表格表示为:以p=1/2代入得：Xpk012340.50.250.1250.06250.0625三、几种常见分布1、（0-1）分布：（也称两点分布）随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律为：101,0,11pkppkXPkk1－ppP01X△背景：样本空间只有两个样本点的情况都可以用两点分布来描述。或2.伯努利试验和二项分布设试验E只有两个可能结果:A，A及则称这样的试验E称为伯努利(Bernoulli)试验.抛硬币：“出现正面”，“出现反面”抽验产品：“是正品”，“是次品”例如:pAPpAP1}{,}{则设“重复”是指这n次试验中P(A)=p保持不变.将伯努利试验E独立地重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.“独立”是指各次试验的结果互不影响.用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X分布律为1)(0nkkXP易证：0)(kXP（1）称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作X~b(n,p)（2）显然，当n=1时pBX，1~101,0,11pkppkXPkk此时有即（0-1）分布是二项分布的一个特例.()(1)01kknknPXkCppkn，，，，设A在n重贝努利试验中发生X次，则并称X服从参数为p的二项分布，记()(1)01kknknPXkCppkn，，，，()Xbnp，3123(0)()(1)PXPAAAp3123(3)()PXPAAAp22321231231233(2)()(1)PXPAAAAAAAAACpp11311231231233(1)()(1)PXPAAAAAAAAACpp01()1nnkknknkpqCpqqp注：其中推导：设Ai={第i次A发生}，先设n=3二项分布分布律的推导()(1)01kknknPXkCppkn，，，，一般地：007125.0)95.0()05.0()2(223CXP例4已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解:因为这是有放回地取3次，因此这3次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为：则X~b(3,0.05)，1、若将本例中的“有放回”改为”无放回”,那么各次试验条件就不同了,此试验就不是伯努利试验.此时,只能用古典概型求解.00618.0)2(310025195CCCXP请注意：2、如果产品总数很大，且抽查的产品个数相对于产品总数来说很小，则可以当作有放回抽样处理，如课本43页例题2伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；二项分布描述的是n重伯努利试验中事件A出现的次数X的分布律.（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或，A（3）各次试验相互独立.可以简单地说，且P(A)=p，；1()PAp例5某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.解:设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数.X~b(3,0.8)，把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为事件A.每次试验,A出现的概率为0.8P{X1}=P{X=0}+P{X=1}=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104,)2.0()8.0()(33kkkCkXP3,2,1,0k例5:(课本45页例题4)设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护，每人负责20台；其二是由3个人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。1,2,3,420iXAii解：以记“第一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”。以表示事件“第人维护的台中发生故障不能及时维修”，则知80台中发生故障不按第一种方法。能及时维修的概率为：123412PAAAAPAPX20,0.01,Xb而故有：1021kPXPXk12020010.010.990.0169kkkkC12340.0169PAAAA即有：80,80,0.01,80YYb按第二种以记台中同一时刻发生故障的台数，此时故台中发生故障而不能及时维修方法。的概率为：380800410.010.990.0087kkkkPYC3.泊松分布,,2,1,0,!)(kekkXPk设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,且概率分布为：其中0是常数,则称X服从参数为的泊松分布,记作X~π().λλλ分布律的验证⑴由于可知对任意的自然数k，有0!ekk⑵又由幂级数的展开式，可知00!!kkkkkeek所以ee1，，，210!kekkXPk是分布律．返回主目录0–服务台在某时间段内接待的服务次数X；–交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;–矿井在某段时间发生事故的次数;–显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；–单位体积空气中含有某种微粒的数目泊松分布的应用:体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数可以由观测值的平均值求出。对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律,也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意义上，我们说这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重要离散型随机变量.离散型随机变量由它的分布律唯一确定.四、小结第三节随机变量的分布函数随机变量分布函数的定义分布函数的性质离散型随机变量分布函数的求法如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间内的],(x概率.xoxX设X是一个随机变量，称)()(xXPxF)(x为X的分布函数,记作F(x).定义2.2:1、分布函数的定义(1)分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量.(2)只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.如:对任意实数a、b、x1x2P{x1Xx2}=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)请注意:)(}{aFaXP)(1}{1}{aFaXPaXP2、分布函数的性质,,上是一个不减函数在xF(1);,,,212121xFxFxxxx都有且即对21FxFx120PxXx(2)()FlimxFxlimxFx()F01(){}FPX不可能事件(){}FPX必然事件性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某个随机变量的分布函数的充分必要条件.(3)F(x