【中考备战策略】2014中考数学总复习-第13讲-反比例函数课件-新人教版

第13讲反比例函数一般地，函数y＝kx(或写成y＝kx－1)(k是常数，k≠0)叫做反比例函数．反比例函数的解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.考点一反比例函数的定义1．反比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是双曲线.因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但永不与x轴、y轴相交.考点二反比例函数的图象和性质2．反比例函数的图象和性质反比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象总是关于原点对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.y＝kx(k是常数，k≠0)k0k0图象y＝kx(k是常数，k≠0)k0k0所在象限一、三(x，y同号)二、四(x，y异号)性质在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大温馨提示反比例函数的图象是双曲线，它既是轴对称图形，又是中心对称图形.其对称轴是直线y＝x和直线y＝－x，对称中心是原点.1．由于反比例函数的关系式中只有一个待定系数k，因此只需已知一组对应值就可以求出k.2．待定系数法求解析式的步骤(1)设出含有待定系数的函数解析式；(2)把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；(3)解方程求出待定系数，从而确定解析式．考点三反比例函数解析式的确定反比例函数y＝kx(k≠0)中k的几何意义：由双曲线y＝kx(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|.考点四反比例函数系数k的几何意义如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|，同理可得S△OPA＝S△OPB＝12|xy|＝12|k|.温馨提示根据图象描述性质、根据性质大致画出图象及求解析式是一个难点，要逐步理解和掌握.解决反比例函数的实际问题时，要先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，要特别注意自变量的取值范围.考点五反比例函数的应用考点一反比例函数的性质例1(2013·衢州)若函数y＝m＋2x的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是()A．m＜－2B．m＜0C.m＞－2D．m＞0【点拨】∵在每一象限内，y随x的增大而增大，∴函数图象在第二、四象限内，∴m＋2＜0，即m＜－2.故选A.【答案】A方法总结对于反比例函数y＝kxk是常数，k≠0中k的符号、图象所在的象限、函数的增减性这三者，知其一则知其二，即k＞0⇔图象在第一、三象限⇔在每个象限内y随x的增大而减小；k＜0⇔图象在第二、四象限⇔在每个象限内y随x的增大而增大.特别说明，y随x的变化而变化时，一定要说明两个点在同一象限内.考点二用待定系数法求反比例函数的解析式例2(2013·淮安)若反比例函数y＝kx的图象过点(5，－1)，则实数k的值是()A．－5B．－15C.15D．5【点拨】把点(5，－1)代入y＝kx，得－1＝k5，∴k＝－5.故选A.【答案】A方法总结用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：（1）设出解析式y＝kxk是常数，k≠0；（）把已知的一对x，y的值代入解析式，得到关于待定系数的方程；解这个方程求出待定系数；将所求得的待定系数的值代回所设的解析式中.考点三反比例函数值的大小比较例3(2013·株洲)已知点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在反比例函数y＝6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1【点拨】解法一：求值法．把x＝1，x＝2，x＝－3分别代入y＝6x，得y1＝6，y2＝3，y3＝－2，∴y3＜y2＜y1.故选D.解法二：图象法．作出函数y＝6x的简图，并在图象上确定点A，B，C的大体位置．观察图象，易知y3＜y2＜y1.故选D.解法三：性质法．∵k＝6＞0，∴函数图象在第一、三象限，∵A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)，∴点A，B在第一象限，点C在第三象限，∴y3最小，又∵k＝6＞0，在每个象限内，y随x的增大而减小，1＜2，∴y1＞y2，∴y3＜y2＜y1.故选D.【答案】D方法总结已知反比例函数的解析式和点的横坐标时，可以直接求出函数值进行比较；当反比例函数的解析式中含有未知系数，不能代入求函数值时，可以利用反比例函数的性质或画函数图象的方法比较大小.考点四反比例函数系数k的几何意义例4(2013·六盘水)下列图形中，阴影部分面积最大的是()【点拨】由k的几何意义，得SA＝2×32＝3，SB＝2×32＝3，SD＝12×1×6＝3.对于选项C，分别过点M，N向y轴、x轴作垂线，可求出SC＝3＋12×(1＋3)×(3－1)－3＝4.故选C.【答案】C方法总结因为反比例函数y＝kxk是常数，k≠0中的k有正、负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号；已知矩形或三角形的面积求反比例函数的解析式或k的值时，要根据函数图象所在的象限确定k的正负.考点五反比例函数的应用例5(2013·益阳)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线y＝kx的一部分．请根据图中信息解答下列问题：(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？(2)求k的值；(3)当x＝16时，大棚内的温度约为多少摄氏度？【点拨】本题考查建立反比例函数模型解答实际问题．解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为从2时至12时，即10小时．(2)∵点B(12,18)在双曲线y＝kx上，∴18＝k12，∴k＝216.(3)当x＝16时，y＝21616＝13.5，∴当x＝16时，大棚内的温度约为13.5℃.方法总结解决实际问题的一般步骤如下：1审题：弄清问题中的常量与变量，探究出问题中的等量关系；2确定问题中的两个变量，列出它们之间的反比例函数关系式；3代入数值求解.1．已知反比例函数的图象经过点(－1,2)，则它的解析式是(B)A．y＝－12xB．y＝－2xC．y＝2xD．y＝1x解析：本题考查用待定系数法求反比例函数的解析式．设反比例函数的解析式为y＝kx，把(－1,2)代入，得2＝k－1，即k＝－1×2＝－2，∴它的解析式为y＝－2x.故选B.2．对于反比例函数y＝2x，下列说法正确的是(D)A．图象经过点(1，－2)B．图象在二、四象限C．当x0时，y随x的增大而增大D．图象关于原点成中心对称解析：把点(1，－2)代入解析式y＝2x，等号左、右两边不相等，所以函数图象不过这个点，故A错误；因为k0，所以函数图象在第一、三象限，故B错误；因为k＞0，所以在每个象限内，y随x的增大而减小，故C错误；反比例函数的图象总是关于原点成中心对称的，故D正确．故选D.3．已知点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)在反比例函数y＝－k2－1x的图象上．下列结论中正确的是(B)A．y1y2y3B．y1y3y2C．y3y1y2D．y2y3y1解析：∵－k2－1＜0，∴y＝－k2－1x的图象在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大．且当x＞0时，y＜0；当x＜0时，y＞0.∴y1＞0，y2＜0，y3＜0.又∵3＞2，∴y3＞y2.∴y1＞y3＞y2.故选B.4．在平面直角坐标系中，反比例函数y＝a2－a＋2x图象的两个分支分别在(A)A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限解析：a2－a＋2＝(a－12)2＋74＞0，因此该反比例函数的图象在第一、三象限．故选A.5．如图，点A在双曲线y＝1x上，点B在双曲线y＝3x上，且AB∥x轴，点C，D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为2.解析：如图，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥x轴，BC⊥x轴．∵AB∥x轴，∴BE⊥y轴．∴四边形AEOD和BEOC都为矩形．∵点A在双曲线y＝1x上，∴S矩形AEOD＝1.∵点B在双曲线y＝3x上，∴S矩形BEOC＝3.∴四边形ABCD的面积为3－1＝2.6．若反比例函数y＝(m－2)xm2－10的图象分布在第一、三象限内，则m的值是3.解析：∵反比例函数y＝(m－2)xm2－10的图象分布在第一、三象限内，∴m2－10＝－1，m－2＞0.解得m＝±3，m＞2.∴m＝3.7．如图，已知反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(12，8)，一次函数y＝－x＋b的图象经过该反比例函数图象上的点Q(4，m)．(1)求上述反比例函数和一次函数的函数解析式；(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接OP，OQ，求△OPQ的面积．解：(1)将点(12，8)代入y＝kx，得8＝k12，k＝12×8＝4.∴反比例函数的解析式为y＝4x.将点(4，m)代入y＝4x，得m＝44＝1.∴点Q(4,1)．将点(4,1)代入y＝－x＋b，得1＝－4＋b，b＝5.∴一次函数的解析式为y＝－x＋5.(2)由y＝－x＋5可知，A，B两点的坐标分别为(5,0)，(0,5)，解方程组y＝4x，y＝－x＋5，得x＝4y＝1或x＝1，y＝4.∴点P(1,4)．∴S△OPQ＝S△AOB－S△AOQ－S△BOP＝12×5×5－12×5×1－12×5×1＝152.考点训练一、选择题(每小题4分，共40分)1．(2013·兰州)当x0时，函数y＝－5x的图象在(A)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．(2013·邵阳)下列四个点中，在反比例函数y＝－6x的图象上的是(A)A．(3，－2)B．(3,2)C．(2,3)D．(－2，－3)3．(2013·湘潭)如图，点P(－3,2)是反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上一点，则反比例函数的解析式为(D)A．y＝－3xB．y＝－12xC．y＝－23xD．y＝－6x解析：将点P(－3,2)代入y＝kx，得2＝k－3，∴k＝－6，∴反比例函数的解析式是y＝－6x.故选D.4．(2013·泉州)为了更好地保护水资源，造福人类．某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池，池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足关系式：V＝Sh(V≠0)，则S关于h的函数图象大致是()ABCD解析：∵容积V一定，∴S关于h的函数关系式为S＝Vh，S是h的反比例函数，∴图象为双曲线．又∵在实际问题中，h和S都是正数，∴图象在第一象限．故选C.答案：C5．在反比例函数y＝kx(k0)的图象上有两点(－1，y1)，(－14，y2)，则y1－y2的值是(A)A．负数B．非正数C．正数D．不能确定解析：因为反比例函数y＝kx中的k0，所以函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，因为点(－1，y1)和(－14，y2)均位于第二象限且－1－14，所以y1y2，所以y1－y20，即y1－y2的值是负数．故选A.6．点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)都在反比例函数y＝－3x的图象上，若x1x20x3，则y1，y2，y3的大小关系是(A)A．y3y1y2B．y1y2y3C．y3y2y1D．y2y1y3解析：如图所示，y3y1y2.故选A.7．(2013·随州)正比例函数y＝kx和反比例函数y＝－k2＋1x(k是常数且k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(C)ABCD解析：∵k2＋1＞0，∴y＝－k2＋1x的图象一定在第二、四象限，B，C都符合；又∵y＝kx的图象经过原点，∴符合上述两项的是C.故选C.8．已知一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝kx在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＜y2时，x的取值范围是(B)A．x＜－1或0＜x＜3B．－1＜x＜0或x＞3C．－1＜x＜0D．x＞