安徽数学中考二轮复习专题六：几何综合问题课件

数学专题六几何综合问题年份考点题型分值难度星级2014与多边形有关综合探究解答题14★★★2015与四边形有关综合探究解答题14★★★2016与四边形有关综合探究填空题5★★★★与三角形有关综合探究解答题14★★★★2017与四边形有关综合探究解答题14★★★★2018与三角形有关综合探究解答题14★★★★数学专题六几何综合问题说明：由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．数学专题六几何综合问题安徽中考中主要涉及利用三角形的性质进行相关的探索与证明、三角形和四边形的综合探索与证明等．这是安徽中考对几何推理与证明能力考查的必然体现，重在提高学生对图形及性质的认识，训练学生的推理能力，解题时还应注意演绎推理与合情推理的结合，尤其不应忽视通过计算来证明问题思维方式，题目难度中档偏上或较难，分值一般为12～20分，预计2019年安徽中考中，这类问题仍是考查的重点之一，需重点复习．数学专题六几何综合问题核心考点精讲数学专题六几何综合问题●类型一与三角形相关的几何题【例1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME.(1)如图1，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是____________；数学专题六几何综合问题(2)如图2，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当∠ADC＝α时，求MEMD的值．数学专题六几何综合问题【解析】(1)由特殊角及等腰三角形判定：等角对等边易得相等；(2)先判定△AMF≌△BME，再求出∠BCE和∠CBE的度数，得到∠EBC＝∠ECB，从而判定BE＝CE，然后由三线合一得到∠EDM＝30°，最后利用特殊角三角函数值得到答案；(3)类比(2)的方法解决第三问，得到MEMD＝tan∠MDE＝tanα2，从而得出结论．数学专题六几何综合问题【答案】解：(1)MD＝ME；(2)MD＝3ME，理由如下：如图1，延长EM交DA于点F，∵BE∥DA，∴∠FAM＝∠EBM.又∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴FA＝BE，MF＝ME，∵DA＝DC，∠ADC＝60°，∴∠BED＝∠ADC＝60°，∠ACD＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝30°，∴∠EBC＝∠BED－∠BCE＝30°.∴∠EBC＝∠ECB，∴CE＝BE，∴AF＝CE，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE＝30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE＝MEMD＝33，∴MD＝3ME；数学专题六几何综合问题(3)如图2，延长EM交DA于点F，∵BE∥DA，∴∠FAM＝∠EBM，又∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC＝∠DAC．∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠BNC＝∠DCA，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠EBC，∴CE＝BE，∴AF＝CE，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC＝α，∴∠MDE＝α2，∴在Rt△MDE中，MEMD＝tan∠MDE＝tanα2.数学专题六几何综合问题【点拨】这一类题型，图形虽然发生了变换，但是主要条件没有发生变化，故解决问题的方法没有变换，从而可以用简单的图形来解决复杂的图形，即类比(1)的方法可以解决(2)、(3)两问．数学专题六几何综合问题【例2】(2018·乐山)已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，连结BE，AD交于点P，设AC＝kBD，CD＝kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：(1)如图1，若k＝1，则∠APE的度数为__________；数学专题六几何综合问题(2)如图2，若k＝3，试问(1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数；(3)如图3，若k＝3，且D，E分别在CB，CA的延长线上，(2)中的结论是否成立，请说明理由．数学专题六几何综合问题【解析】(1)先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD＝AF，BF＝AD，进而判断出△FAE≌△ACD，得出EF＝AD＝BF，再判断出∠EFB＝90°，即可得出结论；(2)先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD＝AF，BF＝AD，进而判断出△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB＝90°，即可得出结论；(3)先判断出四边形EBDH是平行四边形，得出BD＝EH，BE＝DH，进而判断出△ACD∽△HEA，再判断出∠HAD＝90°，即可得出结论．数学专题六几何综合问题【答案】解：(1)如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE＝∠APE，∠FAC＝∠C＝90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD＝AF，BF＝AD，∵AC＝BD，CD＝AE，∴AF＝AC，∵∠FAC＝∠C＝90°，∴△FAE≌△ACD，∴EF＝AD＝BF，∠FEA＝∠ADC，∵∠ADC＋∠CAD＝90°，∴∠FEA＋∠CAD＝90°＝∠EHD，∵AD∥BF，∴∠EFB＝90°，∵EF＝BF，∴∠FBE＝45°，∴∠APE＝45°；数学专题六几何综合问题(2)(1)中结论不成立，理由如下：如图2，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE＝∠APE，∠FAC＝∠C＝90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD＝AF，BF＝AD，∵AC＝3BD，CD＝3AE，∴ACBD＝CDAE＝3，∵BD＝AF，∴ACAF＝CDAE＝3，∵∠FAC＝∠C＝90°，∴△FAE∽△ACD，∴ACAF＝ADEF＝BFEF＝3，∠FEA＝∠ADC，∵∠ADC＋∠CAD＝90°，∴∠FEA＋∠CAD＝90°＝∠EMD，∵AD∥BF，∴∠EFB＝90°，在Rt△EFB中，tan∠FBE＝EFBF＝33，∴∠FBE＝30°，∴∠APE＝30°；数学专题六几何综合问题(3)(2)中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH，∴∠APE＝∠ADH，∠HEC＝∠C＝90°，四边形EBDH是平行四边形，∴BE＝DH，EH＝BD，∵AC＝3BD，CD＝3AE，∴ACBD＝CDAE＝3，∵∠HEA＝∠C＝90°，∴△ACD∽△HEA，∴ADAH＝ACEH＝3，∠ADC＝∠HAE，∵∠CAD＋∠ADC＝90°，∴∠HAE＋∠CAD＝90°，∴∠HAD＝90°，在Rt△DAH中，tan∠ADH＝AHAD＝3，∴∠ADH＝30°，∴∠APE＝30°.数学专题六几何综合问题【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法．具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”．数学专题六几何综合问题●类型二与四边形相关的几何题【例3】(2018·枣庄)如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．数学专题六几何综合问题【解析】(1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠EGF＝∠DFG，从而得到GD＝DF，接下来依据翻折的性质可证明DG＝GE＝DF＝EF；(2)连接DE，交AF于点O，由菱形的性质可知GF⊥DE，OG＝OF＝12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2＝FO·AF，于是可得到GE，AF，FG的数量关系；(3)过点G作GH⊥DC，垂足为H，利用(2)的结论可求得FG＝4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE＝AD－GH求解即可．数学专题六几何综合问题【答案】(1)证明：∵GE∥DF，∴∠EGF＝∠DFG，∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，∴∠DGF＝∠DFG，∴GD＝DF，∴DG＝GE＝DF＝EF，∴四边形EFDG为菱形；(2)证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O.∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG＝OF＝12GF，∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，∴△DOF∽△ADF，∴DFAF＝FODF，即DF2＝FO·AF，∵FO＝12GF，DF＝EG，∴EG2＝12GF·AF；数学专题六几何综合问题数学专题六几何综合问题(3)解：如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H.∵EG2＝12GF·AF，AG＝6，EG＝25，∴20＝12FG(FG＋6)，整理得FG2＋6FG－40＝0.解得FG＝4，FG＝－10(舍去)．∵DF＝GE＝25，AF＝10，∴AD＝AF2－DF2＝45.∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD，∴△FGH∽△FAD．∴GHAD＝FGAF，即GH45＝410，∴GH＝855，∴BE＝AD－GH＝45－855＝1255.数学专题六几何综合问题【点拨】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2＝FO·AF是解题答问题(2)的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题(3)的关键．数学专题六几何综合问题1．(原创)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB上有一动点D以每秒4个单位的速度从点A向点B运动，当点D运动到点B时停止运动．过点D作DE⊥AB，垂足为点D，过点E作EF∥AB交BC于点F，连接BE交DF于点G，设点D运动的时间为t，当S△BDG＝4S△EFG时，t的值为()A．t＝1417B．t＝65C．t＝1017D．t＝817C数学专题六几何综合问题2．如图，在矩形ABCD中，P是BC上一点，E是AB上一点，PD平分∠APC，PE⊥PD，连接DE交AP于F，在以下判断中，不正确的是()A．当P为BC中点，△APD是等边三角形B．当△ADE∽△BPE时，P为BC中点C．当AE＝2BE时，AP⊥DED．当△APD是等边三角形时，BE＋CD＝DEB数学专题六几何综合问题3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是()A．4B．3C．2D．1B数学专题六几何综合问题4．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧．若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是()A．2B．4C．22D．42D数学专题六几何综合问题5．(原创)如图，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD＋PE＋PF＝_____.8数学专题六几何综合问题6．如图，正方形ABCD中，AD＝4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N.若点F是AB边的中点，则△EMN的周长是______.253数学专题六几何综