8.4--三元一次方程组的解法

第八章二元一次方程组8.4三元一次方程组的解法1课堂讲解三元一次方程(组)的有关概念三元一次方程组的解法三元一次方程组的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20,求这三个数.在上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意可得到方程组：23,1,220.xyzxyxyzì++=ïïï-=íïï+-=ïî这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？含有三个未知数含未知数的项次数都是一次特点1知识点三元一次方程(组)的有关概念知1－讲含有三个未知数，并且含未知数的项的次数是一次的方程组叫做三元一次方程组.知1－讲三元一次方程组必备条件：(1)是整式方程；(2)共含三个未知数；(3)三个都是一次方程；(4)联立在一起．例1下列方程组中，是三元一次方程组的是()A.B.C.D.知1－讲21,0,2xyyzxzìï-=ïïï+=íïï=ïïî11,12,16yxzyxzìïï+=ïïïïïï+=íïïïïï+=ïïïî1,2,3abcdacbdì+++=ïïï-=íïï-=ïî18,12,0mnnttmì+=ïïï+=íïï+=ïîDA选项中，方程x2－y＝1与xz＝2中有含未知数的项的次数为2的项，不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中不是整式，故B选项不是;C选项中方程组中共含有四个未知数,故C选项不是;D选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.知1－讲111,xyz，导引：三元一次方程组需满足的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中所含未知数的项的次数都是1；(3)每个方程均是整式方程．总结知1－讲1下列方程是三元一次方程的是______．(填序号)①x＋y－z＝1;②4xy＋3z＝7；③④6x＋4y－3＝0.知1－练270;yzx+-=①2下列方程组中是三元一次方程组的是()A.B.C.D.知1－练2410xxzxy＝，＝－，＋＝ìïïïïíïïïïîB2120xyxzyz＋＝，＋＝，＋＝ìïïïíïïïî3513223zxyxxy＝＋，＋＝，＋＝ìïïïïïíïïïïïî3412325xyxyxy＋＝，－＝，－＝ìïïïïïíïïïïïî3若(a＋1)x＋5yb＋1＋2z2－|a|＝10是一个三元一次方程，则()A．a＝1，b＝0B．a＝－1，b＝0C．a＝±1，b＝0D．a＝0，b＝0知1－练C2知识点三元一次方程组的解法知2－导怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解.那么，能不能用同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次方程组呢？让我们看前面列出的三元一次方程组12,2522,4.xyzxyzxyì++=ïïïï++=íïï=ïïî①②③仿照前面学过的代入法，我们可以把③分别代入①②，得到两个只含y，z的方程：4y+y+z=12，4y+2y+5z=22.它们组成方程组得到二元一次方程组之后，就不难求出y和z，进而可求出x.知2－导512,6522.yzyzì+=ïïíï+=ïî从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是一样的.知2－导三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程组uuuur消元uuuur消元试一试上面的三元一次方程组能否应用加减消元法求解?比较一下，哪种方法更简便？知2－导解三元一次方程组的一般步骤：(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起．知2－讲解三元一次方程组：知2－讲347,239,5978.xzxyzxyzì+=ïïïï++=íïï-+=ïïî①②③例2②×3+③，得11x+10z＝35.④①与④组成方程组解这个方程组，得解：347,111035.xzxzì+=ïïíï+=ïî5,2.xzì=ïïíï=-ïî方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y,得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.分析：把x=5,z=-2代人②，得2×5+3y-2=9，所以因此，这个三元一次方程组的解为知2－讲5,1,32.xyzì=ïïïïï=íïïï=-ïïî1.3y=总结知2－讲解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法．此题中的方法一最为简便．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元．解下列三元一次方程组：知2－练34,(2)2312,6.xyzxyzxyzì-+=ïïïï+-=íïï++=ïïî29,(1)3,247;xyyzzxì-=-ïïïï-=íïï+=ïïî1③－①，得2z＋2y＝56，即y＋z＝28④，②＋④，得2y＝31，所以y＝15.5.把y＝15.5代入①，得x＝22.把y＝15.5代入②，得z＝12.5.所以原方程组的解为知2－练2215.512.5.xyz＝，＝，＝ìïïïïíïïïïî29(1)3247.xyyzzx－＝－，①－＝，　②＋＝　③ìïïïïíïïïïî解：①＋②，得5x＋2y＝16④，①－③，得2x－2y＝－2⑤，④＋⑤，得7x＝14，所以x＝2.将x＝2代入④，得y＝3.将x＝2，y＝3代入③，得z＝1.所以原方程组的解为知2－练231.xyz＝，＝，＝ìïïïïíïïïïî34(2)23126.xyzxyzxyz－＋＝，①＋－＝，　②＋＋＝　③ìïïïïíïïïïî解：解方程组若要使运算简便，消元的方法应选()A．消去xB．消去yC．消去zD．以上说法都不对知2－练323,2411,751,xyzxyzxyzì-+=ïïïï+-=íïï+-=ïïî2B已知三元一次方程组经过步骤①－③和③×4＋②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是()A.B.C.D.知2－练54034112xyzxyzxyz＋＋＝，①＋－＝，②＋＋＝－，③ìïïïïíïïïïî3432753xyxy＋＝，＋＝ìïïíïïî432231711xyxy＋＝，＋＝ìïïíïïî342231711xyxy＋＝，＋＝ìïïíïïî342753xyxy＋＝，＋＝ìïïíïïîA3知识点三元一次方程组的应用知3－讲列三元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系．(2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系；(3)根据等量关系列出方程，建立方程组；(4)解出方程组求出未知数的值；(5)写出答案，包括单位名称．知3－讲在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a，b，c的值．例3导引：把a，b，c看成三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.根据题意，得三元一次方程组042325560.abcabcabcìïïïïíïïïïî－＋＝，　　①＋＋＝，　　②＋＋＝③解：②－①，得a＋b＝1；④③－①，得4a＋b＝10.⑤④与⑤组成二元一次方程组解这个方程组，得把代入①，得c＝－5.因此即a，b，c的值分别为3，－2，－5.知3－讲1410.ababìïïíïïî＋＝，＋＝32.abìïïíï-ïî＝，＝32,5,abcìïïïï-íïï=-ïïî＝，＝32abìïïíï-ïî＝，＝知3－讲某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山.该汽车从甲地到乙地需要2.5h,从乙地到甲地需要2.3h.假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中的时速分别是30km,20km,40km，则从甲地到乙地的过程中,上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？例4导引：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h.设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是xkm，ykm和zkm.由题意得答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12km，平路的长度是54km，下坡路的长度是4km.70,xyzì++=ïïïïïíïïïïïî知3－讲12,54,4.xyzì=ïïïï=íïï=ïïî2.5,203040xyz++=2.3.203040zyx++=解得解：总结知3－讲解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的，求这三个数.知3－练113设甲数为x，乙数为y，丙数为z，则有解这个方程组，得答：甲数为10，乙数为15，丙数为10.12352511.32xyzxyyz＋＋＝，－＝，＝ìïïïïïïíïïïïïïî解：101510.xyz＝，＝，＝ìïïïïíïïïïî已知单项式－8a3x＋y－zb12cx＋y＋z与2a2b2x－yc6是同类项，则x＝________，y＝________，z＝________．知3－练24－46在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－5，可列出关于a，b，c的三元一次方程组是()A.B.C.D.知3－练3005ababc＝＋，＝－，－＝ìïïïíïïïî005abcabcc＝＋＋，＝－－，－＝ìïïïíïïïî000255abcabcabc＝＋＋，＝－＋，＝－＋ìïïïíïïïî005abcabcc＝＋＋，＝－＋，－＝ìïïïíïïïîC【2016·黑龙江】小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法()A．6B．5C．4D．3知3－练4D解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问题简单化的一种方法．其目的是利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．其基本过程为：三元消元转化消元转化二元一元．1知识小结2易错小结解方程组2313222441.xyzxyzxyzìïïïïíïïïïî＋＋＝，①－＋＝，②－＋－＝－③解：由②＋①×2，得7x＋8z＝4.④由③＋②×2，得2x＋3z＝3.⑤由④⑤组成方程组，得解得784233xzxzìïïíïïî＋＝，＋＝，125135xzìïïïïíïïïïî＝-，＝，125135xzìïïïïíïïïïî＝-，＝，把代入①，得y＝－2.所以原方程组的解为1252135xyzìïïïïïïíïïïïïïî＝-，＝－，＝.解三元一次方程组时，通常需在某些方程两边同乘某常数，以便于消去同一未知数；在变形过程中，易漏乘常数项而出现方程①变形为4x＋2y＋6z＝1的错误．易错点：加减消元时，易漏乘某项系数而出错•41．一直割舍不下一件事，永远成不了!42．扫地，要连心地一起扫！43．不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力．44．当你停止尝试时，就是失败的时候．45．心灵激情不在，就可能被打败．46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践．48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星．49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价．50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动