拉普拉斯变换分析

161第4章拉普拉斯变换分析本章所要讨论的拉普拉斯变换（Laplacetransform）分析方法，是第3章傅里叶变换分析的进一步推广。傅里叶变换是将时间信号()ft分解为无穷多项指数信号jetω之和；拉普拉斯变换则是将()ft分解为无穷多项复指数信号est之和，其中jsσω=+，称为复频率。因此拉普拉斯变换分析也称为复频域分析，或s域分析。19世纪末，英国工程师海维赛德(O.Heaviside)以其出色的工作成为拉普拉斯变换的先驱。后来人们在法国数学家拉普拉斯(B．S．Iaplace)的著作中找到了依据。为此取名为拉普拉斯变换(简称拉氏变换)。拉氏变换分析法是分析连续线性时不变系统的有效工具。它具有如下突出优点，它可把微分方程变换成代数方程（algebraicequation），并且可以自动引入起始状态，求出系统的全响应。其次是实际遇到的信号都存在拉氏变换。拉氏变换还可把时域中两函数的卷积运算转换成变换域中两函数的乘法运算。本章着重研究拉氏变换的定义和基本性质；并以此为基础通过较多的实例讨论用拉氏变换分析线性系统的方法，包括直接将微分积分方程的变换，以及s域元件模型这两种方法。4.1拉普拉斯交换的定义4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换由前章已知，当函数()ft满足狄义赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式j(j)()edtFfttωω∞−−∞=∫j1()(j)ed2tftFωωωπ∞−∞=∫但在实际工程中会遇到许多信号不满足绝对可积的条件，例如增长指数信号e()tutα（0α）、斜变信号()tut等不存在傅里叶变换。而对于阶跃信号()ut、周期信号虽未受此约束，但在变换式中出现了广义函数——冲激函数()δω，这就增加了分析的难度。为了简化某些常见信号的变换式和使更多信号存在变换，我们可将傅里叶变换推广为拉普拉斯变换。信号()ft之所以不满足绝对可积的条件，是由于当t→∞时，()ft不趋于零。如果引入一个衰减因子etσ−(σ为实数)使它与()ft相乘，只要σ的数值选择得适当，就可使e()tftσ−得以收敛，绝对可积条件就得到满足。这样，e()tftσ−的傅里叶变换为Fj[e()][()e]edtttftfttσσω∞−−−−∞=∫(j)()edtfttσω∞−+−∞=∫（4-1）它是jσω+的函数，可以写成162(j)(j)()edtFfttσωσω∞−+−∞+=∫（4-2）(j)Fσω+傅氏逆变换为e()tftσ−=F1[(j)]Fσω−+=j1(j)d2tFeωσωωπ∞−∞+∫将上式两边同乘以etσ−便得到(j)1()(j)ed2tftFσωσωωπ∞+−∞=+∫（4-3）虽然(j)Fσω+是函数()etftσ−，而不是函数()ft的傅氏变换，但通过式(4-2)由函数()ft求得(j)Fσω+后，再通过式(4-3)由(j)Fσω+重新得到()ft。因而式(4-2)和式(4-3)组成一对积分变换。为使式(4-2)和式(4-3)更加简洁,令jsσω=+为复频率，从而djdsω=（σ选为常量），当ω=±∞时，jsσ=±∞，于是式(4-2)可改写为()()edstFsftt∞−−∞=∫（4-4）式（4-3）可改写为jj1()()ed2jstftFssσσπ+∞−∞=∫（4-5）式(4-4)称为()ft的双边拉普拉斯变换（two-sidedLaplacetransform）(或像函数)，而式(4-5)称为()Fs的双边拉普拉斯逆变换（inversetwo-sidedLaplacetransform）(或原函数)。从上述由傅氏变换导出拉氏变换的过程中可以看出，()(j)FsFσω=+对()etftσ−来说，是()etftσ−的傅氏变换，对()ft来说，则是()ft的双边拉氏变换，或者说()Fs是()ft的广义傅氏变换。所谓广义是指把()ft乘以etσ−之后再进行傅氏变换，而()etftσ−较容易满足绝对可积的条件。这就意味着有许多原来不存在傅氏变换的函数，都存在广义傅氏变换，即双边拉氏变换。于是拉氏变换的引出，扩大了函数变换的范围。如前所述，傅氏变换是把函数()ft分解为无限多个频率为ω，复振幅为(j)d2Fωωπ的指数分量jetω之和；而拉氏变换则是把函数()ft分解为无限多个复频率为jsσω=±，复振幅为()d2jFssπ的复指数分量jeeestttσω=之和。拉氏变换与傅氏变换的基本差别在于：傅氏变换是将时域函数()ft变换为频域函数(j)Fω，或作相反的变换，这里时域变量t和频域变量ω都是实数；而拉氏变换则是将时域函数()ft变换为复频域函数()Fs，或作相反的变换，这里时域变量t是实数，复频域变量s是复数。概括地说，傅氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换则建立了时域与复频域(s域)间的联系。4.1.2双边拉普拉斯变换及其收敛域为了与单边拉氏变换相区别，双边拉氏变换和逆变换用FB和F1B−表示，其相应的像函数用()BFs表示，这样式（4-4）和式（4-5）可以写为：163()BFs=FB[()]()edstftftt∞−−∞=⋅∫（4-6）()ft=F1B−jj1[()]()d2jstBFsFsesσσπ+∞−∞=⋅∫（4-7）在以σ为实轴，jω为虚轴的复平面中，凡能使变换()Fs存在的s值范围称为拉氏变换的收敛域（regionofconvergence）。函数()ft若满足()etftσ−绝对可积，即()edtfttσ∞−−∞∞∫（4-8）则()ft的拉氏变换一定存在。式（4-8）表明，()BFs是否存在取决于能否选取适当的σ。由于()BFs的收敛域由s的实部σ决定，与虚部jω无关，所以，()BFs的收敛域的边界是平行于jω轴的直线。下面举例说明双边拉氏变换的收敛域特点与双边拉氏变换的计算。例4-1求因果信号111()e()()tftutαα=为实数的双边拉氏变换以及收敛域。解：11()110()()ede()ededtstststBFsfttutttαα∞∞∞−−−−−∞−∞==⋅=∫∫∫当1Re[]sσα=时，有1()111011()estBFsssααα∞−−=−=−−1()BFs的收敛域如图4-1所示。以上结果表明，因果信号若存在双边拉氏变换，其收敛域在平行于jω轴的一条直线的右边区域，图4-1中，若10α，收敛轴将移到jω轴的左侧。例4-2求非因果信号21()e()tftutα=−−（2α为实数）的双边拉氏变换以及收敛域。解：222()()ede()edtststBFsfttuttα∞∞−−−∞−∞==−−⋅∫∫20()edsttα−−−∞=−∫当2Re[]sσα=时，有2200()()221()edeststBFstsααα−−−−−∞−∞=−=−∫21sα=−2()BFs的收敛域如图4-2所示。以上结果表明，若非因果信号2()ft的双边拉氏变换存在，则其收敛域在平行于jω轴的一条直线的左边区域，图4-2中，若20α，收敛轴将移到jω轴的右侧。例4-3求函数21e0()e0tttfttαα⎧⎪=⎨⎪⎩的双边拉氏变换与收敛域。σ0ωj2ασ0ωj2α图4-2例4-2的2()BFs的收敛域jω图4-1例4-1的()BFs的收敛域收敛坐标σ1α0收敛轴164解根据式（4-6）可得2121000()()210()()edeedeedee()()ttstststBststFsfttttssαααααα∞∞−−−−∞−∞∞−−−−−∞==+=+−−−−∫∫∫显然，当2Re[]sα，即2σα，上式第一项存在；当1Re[]sα，即1σα，上式第二项存在，这时1212211211()()()()BFsssssααασααααα−=+=−−−−−如果21αα，其收敛域是12ασα的带状区域。如果21αα，则上式不收敛，函数()ft的双边拉氏变换不存在。图4-3画出了1α和2α取不同数值时收敛域的情况。图（a）是210ααj10j10101e()tutα2e()tutα−()ftt1α2ασ收敛域(a)j010j010001010()ftt2α1α1e()tutα2e()tutα−(b)10j01010j0j0(c)t()ft1e()tutα2e()tutα−αα−σσ的情形，其收敛域是在右半平面中12ασα的区域；图（b）是120αα的情形，其收敛域是在左边平面中12ασα的区域。图（c）是12,αααα=−=的情形，其收敛域为ασα−。如果2α=∞则有0t时()0ft=，于是就变成例4-1。如果1α=−∞，就变成类似例4-2形式。比较例4-1和例4-2，若12αα=，则12()()BBFsFs=，但1()BFs和2()BFs的收敛域完全不同图4-3例4-3的双边拉氏的收敛域165（无公共部分）。以上举例可见，不同信号的双边拉氏变换可能相同，即任意信号与其双边拉氏变换不是一一对应的，而是任意信号和它的双边拉氏变换连同收敛域是一一对应的。4.1.3单边拉普拉斯变换的收敛域考虑到在实际问题中遇到的总是因果信号，令信号起始时刻为零，于是在0t时，()0ft=，从而式（4-4）可以写成0()()edstFsftt−∞−=⋅∫（4-9）式中积分下限取0−是考虑到()ft中可能包含冲激函数等奇异函数。积分下限取0−，称为0−系统；积分下限取0+，称为0+系统。本书只考虑0−系统，为方便起见，把下限写为0，只在必要时才把它写为0−。这时式(4-5)中()Fs的拉普拉斯逆变换(原函数)可写成jj00()1()ed02jsttftFsstσσπ+∞−−∞⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩∫（4-10）为了简便，常常只写上式中0t≥的部分。式(4-9)称为()ft的单边拉普拉斯（single-sidedLaplacetransform）(或像函数)，简记为L[()]ft；式（4-10）成为()Fs的拉普拉斯逆变换(或原函数)，简记为L1[()]Fs−，即()Fs=L[()]ft0()edstftt−∞−=⋅∫（4-11）()ft=L1[()]Fs−=jj1()ed(0)2jstFsstσσπ+∞−−∞⋅≥∫（4-12）其变换与逆变换的关系也简记作()ft()Fs(4-13)目前，应用昀广泛的是单边拉普拉斯变换，常简称它为拉普拉斯变换，而对双边拉普拉斯变换将特别注明。与双边拉氏变换存在的条件类似，若()ft满足0()edtfttσ−∞−∞∫（4-14）则()ft的单边拉氏变换()Fs存在。同样使()Fs存在的s取值区域称为()Fs的收敛域。因为()ft的单边拉氏变换等同于()()ftut的双边拉氏变换收敛域相同，即单边拉氏变换的收敛域为平行于jω轴的一条收敛轴的右边区域，可表示为0Re[]sσσ=（4-15）工程实际中绝大多数信号均存在单边拉氏变换，并能找到相应的0σ。例如，时限信号，其在时间轴上是有始有终，0σ=−∞，收敛域为整个s平面；幂函数nt，当00σ=，即0σ时，lime0ntttσ−→∞⋅=，收敛域为s平面的右边平面。但并非所有函数都能找到一个σ。例如，函数2e(),()(0)ttuttutt≤∞，它们随t的增长速率比etσ−（无论σ为何值）的衰减速率还要快，这类函数成为非指数阶函数，因此，找不到满L.T.166足条件的0σ，这样就不存在拉氏变换。一般而言，工程实际中很少遇到这样的信号，即使出现，大多数情况下也是时限的。与双边拉氏变换相比较，不同信号的单边拉氏变换必不相同，即信号()ft与其单边拉氏变换()Fs必然一一对应。由于单边拉氏变换的收敛问题比较简单，一般情况下，求单边拉氏变换时，不需要注明收敛域。本书将主要讨论单边拉氏变换。4.2常用信号的拉普拉斯变换我们按拉普拉斯变换的定义式(4-11)来推导几个常用信号的拉氏变换。4.2.1指数信号e()tutα−L()00e1[e()]eedstttstuttssααααα∞−+∞−−−==−=++∫()σα−（4-16）4.2.2单位阶跃信号()ut00e1[()]edststuttss∞−∞−==−=∫L(0)