徐中国传统数学(下)

§3.3中国数学发展的高峰宋元四大家简介•秦九韶著的《数书九章》（公元1247年）；•李冶的《测圆海镜》（公元1248年）和《益古演段》（公元1259年）；•杨辉的《详解九章算法》（公元1261年）、《日用算法》（公元1262年）、《杨辉算法》（公元1274—1275年）；•朱世杰的《算学启蒙》（公元1299年）和《四元玉鉴》（公元1303年）。•秦九韶•秦九韶（1202—1261），字道古，在所著《数书九章》自序中称自己是鲁郡人，又称秦凤（凤翔）间人。九韶作连义兵的头头，遍交豪杰之士。自称北方故籍，可能是不忘中原之意。其父曾知潼州（今四川梓潼），故又为蜀人。他对星象、数学、音律无所不能。早年侍父在中都入太史学习，后来又从一位隐君子学数学。著有《数书九章》十八卷。共分九类：（1）大衍，（2）天时，（3）田域，（4）测望，（5）赋役，（6）钱谷，（7）营造，（8）军旅，（9）市易。其书不但综合了数学在各个生产方面的应用，并增添了“大衍”、“堆积”、“招法”、“率数”几个方面。其书清修《四库全书》时曾从明《永乐大典》中录出。现文津、文渊两阁原本及台湾影印全本中均有之。•杨辉•杨辉，字谦光，浙江钱塘（今杭州市）人。曾中理宗景定元年（1260）进士。著有《详解九章算法》并附习题，共十二卷。但传世已非全本。又作《日用算法》二卷。为了初学者明解乘除，为编诗括十三首、图草六十六问。宋度宗咸淳十年（1274），又著《乘除通变》三卷，上、中卷自撰，下卷与史仲乐合写。恭帝德祐间（1275）又写《田亩比类乘除捷法》三卷。其书多保存在《永乐大典》中。杨辉入元后，没有入仕，是宋朝的遗民。•李冶•李冶（1192—1279），字仁辅，号敬斋，后改名李冶。金真定（今河北正定）人。他与秦九韶均精于天元之术。最著名的著作是《测圆海镜》十二卷，是现存最早的一部讲述天元术的书。金亡隐居于今河北元氏县的封隆山中。元世祖忽必烈闻其名征召入京，经王鹗荐为学士，第二年即辞官还山，卒年八十八。所著《测圆海镜》、《益古演段》二书，现在还都存在。他自己说《测圆海镜》一书：“作九九小数，吾常静思致力，后世必有知者。”可见李冶本身也很自负。•朱世杰•朱世杰字汉卿，号松庭，元朝人，籍贯燕山（今北京附近）。他长期从事数学研究和教育事业，以数学名家周游湖海二十多年，四方登门来学习的人很多。著作《算学启蒙》三卷、《四元玉鉴》三卷等著名，把我国古代数学推向更高的境界，形成宋、元时期中国数学的最高峰。•《算学启蒙》是朱世杰在元成宗大德三年（公元１２９９年）刊印的，全书分三卷，二十门，总计二百五十九个问题和相应的解答。自乘除运算起，一直讲到当时数学发展的最高成就“天元术”，全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。它的体系完整，内容深入浅出，通俗易懂，是一部很著名的启蒙读物。这部著作后来流传到了朝鲜、日本等国，出版过翻刻本和注释本，产生过一定的影响。•《四元玉鉴》更是一部成就辉煌的数学名著。它受到近代数学史研究者的高度评价，认为是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。《四元玉鉴》成书于大德七年（公元1303年），共三卷，二十四门，二百八十八问，介绍了朱世杰在多元高次方程组的解法——“四元术”、高阶等差级数的计算——“垛积术”以及“招差术”（有限差分）等方面的研究成果。•朱世杰的“四元术”是在高次方程的数值解法以及“天元术”的基础上发展起来的。当未知数不止一个的时候，除设未知数天元（χ）外，还需要增设地元（y）、人元（z）乃至物元（w），再列写出二元、三元甚至四元的高次联立方程组，然后求解。这就是朱世杰在他的著作中所介绍的“四元术”。•朱世杰不仅提出了多元（最多到四元）高次联立方程组的算筹摆置记述方法，而且把《九章算术》等书中四元一次联立方程解法推广到四元高次联立方程，在欧洲，解联立一次方程开始于十六世纪，关于多元高次联立方程的研究还是十八、十九世纪的事。•朱世杰还把三角垛公式引用到“招差术”上，指出招差公式中的各项系数恰好依次是各三角垛的积，这样就得到了包含有四次差的招差公式，并且可以推广为包含任意高次差的招差公式，这在世界数学史上是第一次，比欧洲牛顿的同样成就要早近四个世纪。•除了“四元消法”和“垛积招差”以外，朱世杰在他的著作中还提出了许多值得注意的内容：在中国数学史上，朱世杰第一次正式提出了正负数乘法的正确法则。他对球体表面积的计算问题作了探讨，这是我国古代数学典籍中唯一的一次讨论。虽然结论不很正确，但是他的创新精神是可贵的。在《算学启蒙》中，朱世杰记载了完整的“九归除法”口诀，和现在流传的珠算归除口诀几乎完全一致。•总之，朱世杰继承和发展了前人的数学成就，为推进我国古代数学的发展做出了不可磨灭的重要贡献。由于朱世杰和其他同时代数学家的共同努力，使宋、元时期的数学水平达到光辉的高度，在很多方面居于世界前列。朱世杰不愧是我国乃至世界数学史上负有盛名的数学家。•秦九韶:《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，系统总结和发展了高次方程的数值解法与一次同余问题的解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”。对数学发展产生了广泛的影响。•杨辉,不遗余力改进计算技术，大大加快了运算工具改革的步伐。随着筹算歌诀的盛行，运算速度大大加快，以至人们感觉到摆弄算筹跟不上口诀。在这样的背景下，算盘便应运而生了，及至元末，已经广为流行。•杨辉的另一重要成果是垛积术。这是杨辉继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数求和的研究。•对数学重新分类也是杨辉的重要数学工作之一。杨辉在详解《九章算术》的基础上，专门增加了一卷“纂类”，将《九章》的方法和246个问题按其方法的性质重新分为乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。•朱世杰,有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉。朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。•此外他还创造出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术”，即高次内插法。主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。《四元玉鉴》中还有两项重要成就，即创立了一般的高阶等差级数求和公式及等间距四次内插法公式，后者通常称为招差术．•朱世杰是最高大、最雄伟的山峰．站在朱世杰数学思想的高度俯嫩传统数学，会有“一览众山小”之感．朱世杰工作的意义就在于总结了宋元数学，使之在理论上达到新的高度．•李治,在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。•积财千万，不如薄技在身，又说：“金璧虽重宝，费用难贮蓄．学问藏之身，身在即有余•李冶在数学上的主要成就是总结并完善了天元术，使之成为中国独特的半符号代数。这种半符号代数的产生，要比欧洲早三百年左右。他的《测圆海镜》是天元术的代表作，而《益古演段》则是普及天元术的著作•《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，而且给出一批新的求圆径公式•李冶由于摆脱了几何思维束缚，在方程理论上取得了四项进展：第一，他改变了传统的把常数项看作正数的观念，常数项可正可负，而不再拘泥于它的几何意义。•第二，李冶已能利用天元术熟练地列出高次方程。在这里，未知数已具有纯代数意义，二次方并非代表面积，三次方程也并非代表体积。第三，李冶完整解决了分式方程问题，他已懂得用方程两边同乘一个整式的方法化分式方程为整式方程。第四，李冶已懂得用纯代数方法降低方程次数。当方程各项含有公因子xn（n为正整数）时，李冶便令次数最低的项为实，其他各项均降低这一次数•李冶还发明了负号，他的负号与现在不同，是数字上画一条斜线。而在国外，德国人是在15世纪才引入负号的;•沈括•沈括(公元1030—l094年)是我国历史上一份杰出的科学家。他多才多艺，在当时各学科领域内都取得了重要成就。沈括虽然出身于名门望族，本人又在北宋朝廷里做过宫‘但是比较接近下层，注重实际，曾经多次到生产作坊、工地或自然界里进行生产考察和科学考察，不仅掌握了大量第一手资料，而且亲自进行科学实验，从而对劳动人民在改造自然中的伟大作用有一定的认识。他说：“技巧、器械、大小、尺寸、黑黄、苍赤，岂能尽出圣人！百工、群有司、市并、田野之人，莫不预焉。”•沈括晚年著有《梦溪笔谈》一书，内容丰富，有关科学技术方面的内容尤为可贵，因此被誉为“中国科学史的里程碑”。他对数学进行了精深的研究，提出了不少卓越的见解。•郭守敬•郭守敬(公元1231一1316年)，是卓越的水利专家和天文学家，曾进行过水利勘察和指挥水利工程。在王伤、郭守敬的主持下，于大都（今北京市）建成一座规模宏大、可与马技加天文台媲美的天文台。郭守敬设计了将近二十种先进的天文仪器，进行了大规模天文观测。在实测的基础上，于1280年编订出历史上有名的《授时历》，次年颁行。从“贾宪三角”到秦九韶“正负开方术”•贾宪的生平：贾宪是十一世纪前期著名天文学家楚衍的学生，楚衍长期在国家的天文台工作。他有两名弟子，一名叫朱古，后来担任太史，也在天文台工作；另一名就是贾宪，在朝廷里做左班殿直(低级武官)。贾宪对数学进行了深入研究，“运算亦妙，有书传于世”。现在所知道的，贾宪撰有《黄帝九章算经细草》九卷，还有一些书已失传。•在贾宪的时代，数学已经积累了不少有关方程的问题和开方问题。贾宪把这类问题进行了搜集和整理，在前人的基础上取得了新的成就。•增乘开方法：•实上商置第一位得数，以上商乘下法入廉，乘廉入方，除实讫。复以上商乘下法入廉，乘廉入方。又乘下法入廉。其方一、廉二、下三退。再于第一位商数之次，复商第二位得数，以乘下法入廉，乘廉入方，除实讫。以次商乘下法入廉，乘廉入方。又乘下法入廉。其方一、廉二、下三退，如前。上商第三位得数，乘下法入廉，乘廉入方，命上商除实适尽，得立方一面之数。•以上是杨辉《详解九章算法》中对“增乘开方法”的说明。•实，被除数，在开方中，被开方数即作为被除数；除，相减。•例题：求x3=1860867的正根。•（1）实上商置第一位得数。118608671商实方廉下法1860867111商实方廉下法1860867331商实方廉下法1860867331商实方廉下法•（2）以上商乘下法置廉，乘廉入方，除实讫。•（3）复以上商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉。•（4）其方一、廉二、下三退。•（5）再于第一位商数之次，复商第二位得数，以乘下法入廉，乘廉入方，命上商除实讫。12132867364321商实方廉下法12132867432361商实方廉下法12132867432361商实方廉下法123442893631商实方廉下法•（6）复以次商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉。•（7）其方一、廉二、下三退，如前。•（8）上商第三位得数，乘下法入廉，乘廉入方，命上商除实适尽，得立方一面之数。•练习1：求x3=1728的正根。•练习2：求x2=55225的正根。25522521商实方下法21522521商实方下法21522541商实方下法21522541商实方下法2315225431商实方下法232325431商实方下法232325461商实方下法23523254651商实方下法2354651商实方下法•练习3：求x4=1336336的正根。3133633627931商实方上廉下廉下法352633627931商实方上廉下廉下法35263361082761商实方上廉下廉下法35263361085491商实方上廉下廉下法352633610854121商实方上廉下廉下法352633610854121商实方上廉下廉下法3452633613158458961241商实方上廉下廉下法34013158458961241商实方上廉下廉下法•开带从平方•古代一次项系数叫做“从法”。《九章》原文中没有“开带从平方”的方法，刘徽注文中也没有。杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下第3、5、9、问“直田864步，只云阔不及长12步。问阔几步。答曰：24步。术曰：置积为实，以不及步为从方，开平方除之。”x²+12x=864__________________________