函数的基本性质

第二节函数的基本性质知识点一函数的单调性1.单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.2.函数的最值减函数前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有；存在x0∈I，使得f(x0)＝M对于任意x∈I，都有；存在x0∈I，使得结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x)≥M0()fxM►单调性定义的两种变式.(1)设任意x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2，则①f（x1）－f（x2）x1－x2＞0(＜0)⇔f(x)在[a，b]上是增(减)函数.②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0(＜0)⇔f(x)在[a，b]上是增(减)函数.例如定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2(x1≠x2)都有f（x1）－f（x2）x1－x2＜0，若f(2x＋1)≤f(x－1)，则x的取值范围为________.►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.解析由f（x1）－f（x2）x1－x2＜0知函数f(x)为减函数，所以2x＋1≥x－1，解得x≥－2.答案[－2，＋∞)（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，可以用逗号或“和”。例如函数f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.解析由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞).答案(－∞，－1]，[1，＋∞)知识点二函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数关于对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是奇函数关于对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个正数就叫做f(x)的最小正周期.f(x)最小判断函数的单调性或求单调区间的方法(1)利用已知函数的单调性.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)复合函数y＝f[g(x)]根据“同增异减”判断.题型归纳题型一判断函数的单调性(5)利用函数的性质：如：①当k＞0时，y＝kf(x)与y＝f(x)单调性相同，当k＜0时，y＝kf(x)与y＝f(x)单调性相反.②y＝1f（x）与y＝f(x)单调性相反(此时只能f(x)＞0或只有f(x)＜0).③若y＝f(x)，y＝g(x)都为增(减)函数，则y＝f(x)＋g(x)为增(减)函数；若y＝f(x)为增函数，y＝g(x)为减函数，则y＝f(x)－g(x)为增函数，y＝g(x)－f(x)为减函数.【例1】函数f(x)＝log12(x2－x－2)的单调递增区间为()A.－∞，12B.12，＋∞C.(－∞，－1)D.(2，＋∞)解析由x2－x－2＞0得x＜－1或x＞2，又u＝x2－x－2在(－∞，－1)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y＝log12u为减函数，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选C.[点评]判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定义域内求解.变式训练：的单调递减区间求函数xxxf2)(此题的图像比较容易画出，可由图像的直观性写出它的单调性.函数单调性的证明用定义.,)0()(上是增函数在证明函数aaxaxxf利用定义证明的步骤：①取值②作差比较③定号④结论.解题时注意所设自变量在区间内具有任意性.若否定函数单调性，只需取两个特殊自变量说明不满足即可.1、求函数值域或最值.题型二函数单调性应用的值域为、函数例xxy5931依题意，函数的定义域为[-3,5],且函数在定义域上是单调递增的.从而利用函数的单调性求值域.变式训练的最小值已知函数)(,1),1lg(1,32)(2xfxxxxxxf322例2已知函数x∈[1,+∞).(1)当a=时,求f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围.,2)(2xaxxxf21思维启迪第(1)问可先证明函数f(x)在[1,+∞)上的单调性,然后利用函数的单调性求解，对于第(2)问可采用转化为求函数f(x)在[1,+∞)上的最小值大于0的问题来解决.还可以使用分离参数法2、比较函数值或两个自变量的大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.3、解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.上述两类题型常与函数的奇偶性相结合考查4、利用单调性求参数.视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.例1.函数f(x)＝|x－a|在(－∞，2]上单调递减，则a的取值范围是．例2.已知是R上的减函数，那么a的取值范围是1,log1,4)13()(xxxaxaxfa3171，题型三函数的奇偶性判断(1)定义法(2)图象法(3)性质法若f(x)，g(x)在其公共定义域上具有奇偶性，则奇＋奇＝奇；奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.xxxfxxxxxxxfxxxfeeeexfxxxxfxxxxcos)(50,0,)()4()1(log)()3()()2(11)1()(122222）（）（偶性例、判断下列函数的奇非奇非偶函数奇函数奇函数奇函数首先必须判断函数的定义域是否关于原点对称（4）可以用定义判断也可以画图偶函数题型四函数奇偶性的应用重点类型解决方法求函数值或解析式把待求值或自变量x利用奇偶性转化为已知区间的函数值或解析式求解.求参数值利用待定系数法求解.根据f(－x)＝±f(x)得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值.解决有关函数图象的问题利用奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，画出另一半对称区间上的图象.奇偶性与其他性质的综合应用(1)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反(2)在利用函数的性质求函数值或比较函数值的大小时，要综合利用函数的周期性与奇偶性，把自变量化归到已知区间中，然后根据相关的性质求解.1、求函数值或解析式.)(),0(,)()0,()(2)1(1)(0)(122数进一步求函数解析式上题将偶函数改成奇函变式训练时，则当时，上的偶函数，当是定义在、已知函数例，则时，且当是定义在上的奇函数，、已知函数例xfxxxxfxRxffxxxfxxf解决此类题型分三步：①将所求解析式的自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式奇偶性两个性质：（1）若函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称例1、若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.解析由定义域关于原点对称得a－1＋2a＝0，解得a＝13，即f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又f(x)为偶函数，由f(－x)＝f(x)得b＝0.答案1302、已知函数的奇偶性，求参数.（2）若函数f(x)为奇函数且在原点有意义，则f(0)＝0例2、函数f(x)＝a－22x＋1是奇函数，则a＝______.解析由f(x)为奇函数且x∈R知f(0)＝a－220＋1＝0，解得a＝1.)()()()(xfxfxfxf是偶函数，则若函数质补充：偶函数的重要性的取值范围是的则满足上单调递增，，在区间、已知偶函数例xfxfxf)31()12(0)(33231x若已知函数的奇偶性，求参数的值.可从以下几个角度来思考：①从函数的定义域的角度，即函数的奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称；②从函数解析式的角度，即f(-x)与f(x)的关系；③从赋值的角度，即用特殊值代入求解.3、奇函数的特别应用的值为则若例、函数)(2)(),(1sin)(3afafRxxxxf.01)()(1)()()(1)(,21)(.1)()(,sin)(3agafagagxgyagagxgxfxxxg所以是奇函数，故又所以依题意，得得到令解析：例1、下列函数中，在其定义域内既是偶函数，又在(－∞，0)上单调递增的函数是()A.f(x)＝x2B.f(x)＝2|x|C.f(x)＝log21|x|D.f(x)＝sin2x例2、已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是______.4、函数奇偶性、单调性的综合应用方法1：利用代数思想解题方法2：利用图像解题解析(1)函数f(x)＝x2是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝2|x|是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝log21|x|是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，符合题意；函数f(x)＝sin2x是奇函数，不合题意，故选C.(2)由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，所求解集为(－∞，1]∪[3，＋∞).答案(1)C(2)(－∞，1]∪[3，＋∞)[点评]解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2)的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.的取值范围是，则实数若时，上的奇函数，当是定义在、已知例aafafxxxfxRxf)()2(,2)(0)(32212a分析：利用函数奇偶性与单调性之间的关系可确定函数f(x)在R上是单调递增的，再利用单调性解不等式.的取值范围是实数的上递减，则满足，且在区间的定义域为已知奇函数变式训练：mmfmfxf0)1()1(0,2-2,2-)(21,1-题型五、函数的周期性解题方略1.有关函数周期性的常用结论(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2|a|；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2|a|；(3)若f(x＋a)＝1f（x），则函数的周期为2|a|；(4)若f(x＋a)＝－1f（x），则函数的周期为2|a|.2.判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，便可证明函数是周期函数，且周期为T，根据函数的周期性，可以由函数局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.解析∵f(x)＝－fx＋32，∴f(x＋3)＝fx＋32＋32＝－fx＋32＝f(x).∴f(x)是以3为周期的周期函数.则f(2014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝2.例1、已知定义在R上的函数f(x)满足，且f(1)＝2，则f(2014)＝______.)23()(xfxf)5.105(,)(32),()2()(fxxfxxfxfRxf则时，当上的偶函数，且是定义在已知变式训练：小练：1.设偶函数f(x)为(0,+∞)上的减函数，则f(－2),f(－π),f(3)的大小顺序是．2.已知二次函数为偶函数，则f(x)在(－5，－2)上是单调函数．3212