15兰州理工大学动力学解析

二、单自由度体系自由振动微分方程的解)(mk=w02yy=+w&&)(0akyym=+LL&&)sin()(aw+=tatysincos)(00=tvtyty)0(020==yCyycossin)(21ww+=tCtCty)0(010w==vCvy&y(t)ty0－y0y(t)tv0/ω－v0/ωTta－aTα/ω其中δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视δ、k、Δst三参数中哪一个最便于计算来选用。自振周期计算公式：圆频率计算公式：一些重要性质：（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a。（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。stgWgmmk====w1gkmTst==22例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求δEIl4831=P=13l/165l/32P=1l/2EIlllllEIl7687)325216322(61321==EIl768732=EIl19233=311481mlEIm==w32277681mlEIm==w3331921mlEIm==w据此可得：ω1׃ω2׃ω3=1׃1.512׃2结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。1θ例5、求图示结构的自振圆频率。解法1：求kθ=1/hMBA=kh=MBCklhmI→∞EIBAClhEIlEI33==lmhEImk23==w23lhEIk=1h解法2：求δEIlhhlhEI332212==21131mlhEIm==w例6、求图示结构的自振频率。lEImk1k11k11k33lEI解：求k3113lEIkk+=mkmklEI+==3311w•对于静定结构一般计算柔度系数方便。•如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便。312lEI一端铰结的杆的侧移刚度为：33lEI两端刚结的杆的侧移刚度为：五、阻尼对自由振动的影响忽略阻尼影响时所得结果能不能反映实际结构的振动规律。大体上忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系：①与质点速度成反比（比较常用，称为粘滞阻尼）。②与质点速度平方成反比（如质点在流体中运动受到的阻力）。③与质点速度无关（如摩擦力）。粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为R(t)=－Cy).其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。振动模型ykyym&&kmyc&y有阻尼的自由振动，动平衡方程：)14.15(0LLL&&&=++kyycymwwmcmk2,==(阻尼比）)1(2±=wl0222=++wwll)(=ltCety设解为：特征方程为：1)ξ1（低阻尼）情况21wl==rri其中tCtCeyrrtwwwsincos21+=++=tyvtyeyrrrtwwwwwsincos000c)16.15(022LLL&&&=++yyyww令低阻尼体系的自振圆频率000220020)()sin(yvytgyvyataeyrrrtwwawwaww+=++=+=ae-ξωttyty低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线①阻尼对自振频率的影响.=而随www,12r当ξ0.2，则存在0.96ωr/ω1。在工程结构问题中，若0.01ξ0.1，可近似取:TTrr==,wwrTkkTeyywwww2lnln1===+称为振幅的对数递减率.11ln21ln21,12.0++==kkkkrryyyywwww则如nkkyyn+=ln21设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:工程中常用此方法测定阻尼②阻尼对振幅的影响.振幅ae-ξωt随时间衰减，相邻两个振幅的比常数==+Tkkeyyw1振幅按等比级数递减.EI=∞m例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m9.8kN，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。解：0335.04.05.0ln21ln211===+kkyymNAPk/10196005.0108.9430===1189.45.122===sTw=wk2=wmc2=wwm22cmsNmsN/2.332/33220189.4101960355.024===临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）wmc2=mkmcr22==wrcc=阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。3)ξ1强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。2)ξ=1（临界阻尼）情况)1(2±=wl=wltetCCyw+=)(21tetvtyyww++=])1([00)16.15(022LL&&&=++yyywwtyy0θ000vtg=这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。m§15-3单自由度体系的受迫振动受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。ky(t)ymkyym&&P(t)mP(t)P(t)弹性力－ky、惯性力ym&&和荷载P(t)之间的平衡方程为:)()(atPkyymLL&&=+)24.15()(2LL&&mtPyy=+w一、简谐荷载：tmFtAwsinsin)(22=+tmFtAtAwsinsinsin22=+tAysin=mtFyywsin2=+&&)(22w+=mFAtytmFystwwwsin)1(1sin)1(22222==wFmFyst==2单自由度体系强迫振动的微分方程特解：最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。tyystwsin1122=特解可写为：通解可写为：tytCtCystwwwsin11cossin2221++=设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：0,12221==CyCstww)sin(sin1122ttyystwww=过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）按自振频率振动按荷载频率振动平稳阶段：tyystwsin1122=最大动位移（振幅）为：22max11][w=styy22max11][w==styy动力系数β为：1023123w重要的特性：当θ/ω→0时,β→1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。当0θ/ω1时,β1，并且随θ/ω的增大而增大。当θ/ω→1时,β→∞。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75θ/ω1.25称为共振区。当θ/ω1时,β的绝对值随θ/ω的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。例：已知m=300kg，EI=90×105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,θ=80s-1求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkPsinθt2m解：1)求ωkEIl212148321+=+=EIlEIlEIl192519248333=+=1316.13451921===smlEImw2)求β552.11122==wmEIlPPy35333max1075.51090192451020552.11925===3)求ymax，MmaxmkNlPM.04.31420552.141)(41max===例、一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m）解：1）求自振频率和荷载频率SQlEIg13434.57400359807480101.24848===Sn13.526050014.32602===2）求动力系数β88.54.573.5211112222===wEIPlEIQlystst484833max+=+==+=+=WlPQWPlWQl4)(44maxstg=w175.6MPa必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。I22b3570cm4357039.739.71.35对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。325149.2设体系在t=0时静止，然后有瞬时冲量S作用。二、一般荷载一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导1、瞬时冲量的动力反应P(t)tP瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。由动量定理：mtPmSv==000=yΔtcossin)(00=tvtytytmStywwsin)(=Δtτtt't'tmSty=wwsin)()(sinww=tmScossin)(00=tvtytycossin)(00=tvtytycossin)(00=tvtytycossin)(00=tvtytytPSmv==002、任意荷载P(t)的动力反应P(t)tτdPdS)(=τ时刻的微分冲量对t瞬时(tτ)引起的动力反应:)(sin)(ww=tmdPdy初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:wwdtPmtyt)(sin)(1)(0=(Duhamel积分)……（15.29）初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:w)(sin)(1sincos)(000++=t3、几种典型荷载的动力反应1）突加荷载=0,0,0)(0tPttP当当P(t)tPwwdtPmtyt)(sin)(1)(0=wwdtPmtyt)(sin1)(00=)cos1()cos1(20tytmPst==yst=P0δ=P0/mω2ysty(t)ωt0π2π3π质点围绕静力平衡位置作简谐振动2)]([max==styty2）短时荷载=ututPttP,00,0,0)(0P(t)tPu阶段Ⅰ(0tu)：与突加荷载相同。)co