2010年江苏省高考数学试卷

第1页（共21页）2010年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5.00分）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=．2．（5.00分）设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为．3．（5.00分）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．4．（5.00分）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有根在棉花纤维的长度小于20mm．5．（5.00分）设函数f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R）是偶函数，则实数a=．6．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是．7．（5.00分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是．8．（5.00分）函数y=x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=．9．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0第2页（共21页）的距离为1，则实数c的取值范围是．10．（5.00分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．11．（5.00分）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是．12．（5.00分）设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是．13．（5.00分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是．14．（5.00分）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是．二、解答题（共9小题，满分110分）15．（14.00分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足（）•=0，求t的值．16．（14.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．17．（14.00分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标第3页（共21页）杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？18．（16.00分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0．（1）设动点P满足PF2﹣PB2=4，求点P的轨迹；（2）设x1=2，x2=，求点T的坐标；（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．19．（16.00分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列是公差为d的等差数列．（1）求数列{an}的通项公式（用n，d表示）；（2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求证：c的最大值为．第4页（共21页）20．（16.00分）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=，其中b为实数．（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；②求函数f（x）的单调区间．（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，α＞1，β＞1，若|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|，求m的取值范围．21．（10.00分）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A：AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC．B：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（﹣2，0），C（﹣2，1）．设k为非零实数，矩阵M=，N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．C：在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．D：设a、b是非负实数，求证：．22．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．23．（10.00分）已知△ABC的三边长都是有理数．第5页（共21页）（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．第6页（共21页）2010年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5.00分）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=1．【解答】解：∵A∩B={3}∴3∈B，又∵a2+4≠3∴a+2=3即a=12．（5.00分）设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为2．【解答】解：z（2﹣3i）=2（3+2i），|z||（2﹣3i）|=2|（3+2i）|，|2﹣3i|=|3+2i|，z的模为2．故答案为：23．（5.00分）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．【解答】解：考查古典概型知识．∵总个数n=C42=6，∵事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3∴故填：．4．（5.00分）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有30根在棉花纤维的长度小于20mm．【解答】解：由图可知，棉花纤维的长度小于20mm段的频率为0.01+0.01+0.04，则频数为100×（0.01+0.01+0.04）×5=30．故填：30．第7页（共21页）5．（5.00分）设函数f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R）是偶函数，则实数a=﹣1．【解答】解：因为函数f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R）是偶函数，所以g（x）=ex+ae﹣x为奇函数由g（0）=0，得a=﹣1．另解：由题意可得f（﹣1）=f（1），即为﹣（e﹣1+ae）=e+ae﹣1，即有（1+a）（e+e﹣1）=0，解得a=﹣1．故答案是﹣16.（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是4．【解答】解：=e=2，d为点M到右准线x=1的距离，则d=2，∴MF=4．7．（5.00分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是63．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+22+…+2n≥33的最小的S值∵S=1+2+22+23+24=31＜33，不满足条件．S=1+2+22+23+24+25=63≥33，满足条件故输出的S值为：63．故答案为：638．（5.00分）函数y=x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=21．【解答】解：在点（ak，ak2）处的切线方程为：y﹣ak2=2ak（x﹣ak），当y=0时，解得，所以．故答案为：21．9．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是（﹣13，13）．第8页（共21页）【解答】解：圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x﹣5y+c=0的距离小于1，即，c的取值范围是（﹣13，13）．10．（5.00分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sin2x+5sinx﹣6=0，解得sinx=．线段P1P2的长为11．（5.00分）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是（﹣1，﹣1）．【解答】解：由题意，可得故答案为：12．（5.00分）设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是27．【解答】解：因为实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，第9页（共21页）则有：，，再根据，即当且仅当x=3，y=1取得等号，即有的最大值是27．13．（5.00分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是4．【解答】解：∵+=6cosC，由余弦定理可得，∴则+=======14．（5.00分）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是．．【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：（方法一）利用导数求函数最小值．，=第10页（共21页），当时，S′（x）＜0，递减；当时，S′（x）＞0，递增；故当时，S的最小值是．（方法二）利用函数的方法求最小值．令，则：故当时，S的最小值是．二、解答题（共9小题，满分110分）15．（14.00分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足（）•=0，求t的值．从而得：．【解答】解：（1）（方法一）由题设知，则．所以．故所求的两条对角线的长分别为、．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），．由（）•=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）=0，第11页（共21页）从而5t=﹣11，所以．或者：，，16．（14.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD=90°，得CD⊥BC，又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD．因为PC⊂平面PCD，故PC