外点罚函数优化实例

外点罚函数优化实例一、优化问题如图1所示，为某一桁架的一部分，杆2距O点30cm处有一支点C。为了固定桁架，现欲在杆1和2上设置支点A和B，用来连接杆3（可拆卸）。已知当桁架固定时，杆1和2成直角；而且，杆1右边有一段长为20cm的重要部位，不能设置支点。卸去杆3、收起桁架时，支点A的位置不能高于BC段中点D。求取支点A、B的位置，使得杆3的长度尽量小，以节省材料。图1桁架结构示意图二、数学模型设A、B两点距离O点的长度分别为1x和2x，而桁架固定时杆1和2成直角。所以杆3的长度为22213xxl。由图1可知，201x且)30(2121xx，即0201x且030221xx。设TxxX],[21，取222123)(xxlXf。因此，数学模型为：极小化目标函数2221)(minxxXf约束条件020)(11xXg0302)(212xxXg三、求解数学模型(1)外点罚函数法求解构造外点法罚函数，如下：})]0,302[max()]0,20{[(max(),(22121)(2221)(xxxMxxMXkk程序流程图如图2所示：图2外点罚函数法程序流程图程序步骤：①选择适当的初始罚因子)0(M、初始点)0(X、收敛精度和罚因子系数c。在本程序中分别取1)0(M，]20,20[)0(X，610，c=8。令迭代步数k=0。②采用牛顿法求无约束问题),(min)(kMX的极值点)()(*kMX。k=0i=0求)()(iX与Hessian矩阵)()(iXH||)(||)(iX)()(*)(ikXMX||)()(||)1()(*kkMXMX|)]([)]([)]([|)1(*)1(*)(*kkkMXfMXfMXf输出*X和)(*XfYN)()]([)(1)()()1(iiiiXXHXXi=i+1)()(*)0(kMXX)()1(kkcMMk=k+1YN结束牛顿法求),(min)(kMX的极值点)()(*kMX给定)0(X、)0(M、c、③检验迭代终止准则，若满足||)()(||)1()(*kkMXMX及|)]([)]([)]([|)1(*)1(*)(*kkkMXfMXfMXf则停止迭代计算，输出最优点)()(**kMXX；否则，转入步骤④。④取)()1(kkcMM，)()(*)0(kMXX，k=k+1，转入步骤②继续迭代。具体程序请看附一。运行结果：X*=[20.0000，10.0000]f(X*)=500.0000因此，A、B两支点与O的距离分别为20cm、10cm，杆3的最小长度为510cm。目标函数曲线图与目标函数等值线图分别如图3和图4所示。优化路径如图4所示。图3目标函数曲线图图4目标函数等值线图(2)Matlab优化工具fmincon求解利用Matlab文件编辑器为目标函数编写M文件(goalfun.m)：functionf=goalfun(x)f=x(1)^2+x(2)^2;编写约束条件的M文件(confun.m)：function[c,ceq]=confun(x)c=[2*x(1)-x(2)-30;20-x(1)];ceq=[];编写主函数的M文件(opt.m)：closeallclearallclcx0=[20,20];lb=[];ub=[];options=optimset('LargeScale','off','display','iter','tolx',1e-6);[x,fval,exitflag,output]=fmincon('goalfun',x0,[],[],[],[],[],[],'confun',options);xfval运行结果：x=[20，10]fval=500同样地，利用Matlab优化工具解得，支点A、B与O的距离分别为20cm、10cm，杆3的最小长度为510cm。四、结论分析(1)罚因子系数c对外点罚函数法的影响本次程序中，c取值为8，运行步数k=11。若取c=4，则运行步数k=16；取c=16，则运行步数k=9；取c=32，则运行步数k=8；取c=64，则运行步数k=7。由此可知，罚因子系数c的大小会影响程序的迭代次数k。c的值取得越大，运行步数k越小，程序收敛速度越快，效率越高。但对于c的其他一些取值，如5、7、9等，会导致罚函数形态变坏，使迭代出现问题，导致程序运行失败。因此，需选取合适的罚因子系数c。(2)外点罚函数法与Matlab优化工具fmincon的比较通过opt.m的运行结果可知，fmincon的运行步数k=3，这一运行效率明显比外点法函数法的效率高。对于相同的收敛精度和初始点，虽然优化结果相同，但是M文件WaiDianNiuDun.m中外点罚函数法的运行效率仍有待提高。附一外点罚函数matlab程序closeallclearallclcsymsx1x2M;%M为罚因子。m(1)=1;c=8;%c为递增系数。赋初值。a(1)=20;b(1)=20;f=x1^2+x2^2+M*((20-x1)^2+(2*x1-x2-30)^2);%外点罚函数f0(1)=500;%求偏导、Hessian元素fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(fx1,'x2');fx2x1=diff(fx2,'x1');fx2x2=diff(fx2,'x2');%外点法M迭代循环fork=1:100x1=a(k);x2=b(k);M=m(k);%牛顿法求最优值forn=1:100f1=subs(fx1);%求解梯度值和Hessian矩阵f2=subs(fx2);f11=subs(fx1x1);f12=subs(fx1x2);f21=subs(fx2x1);f22=subs(fx2x2);if(double(sqrt(f1^2+f2^2))=1e-6)%最优值收敛条件a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f));break;elseX=[x1x2]'-inv([f11f12;f21f22])*[f1f2]';x1=X(1,1);x2=X(2,1);endendif(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))=1e-6)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))=1e-6)%罚因子迭代收敛条件%输出最优点坐标，罚因子迭代次数，最优值a(k+1)b(k+1)kf0(k+1)break;elsem(k+1)=c*m(k);endend%绘制目标函数曲线图xx1=0:0.5:50;xx2=0:0.5:50;fori=1:length(xx1)forj=1:length(xx2)if((2*xx1(i)-xx2(j)-30=0)&&(20-xx1(i)=0))Z(i,j)=xx1(i)^2+xx2(j)^2;elseZ(i,j)=0;endendendfigure(1);surf(xx1,xx2,Z);axis([05005004500])title('目标函数曲线图');xlabel('x1');ylabel('x2');%绘制目标函数等值线图，并画出优化路径figure(2);x11=-5:0.5:25;x12=-5:0.5:25;[xx11,xx12]=meshgrid(x11,x12);F=xx11.^2+xx12.^2;axis([-525-525]);contour(xx11,xx12,F);title('目标函数等值线');xlabel('x1');ylabel('x2');holdonplot(a,b,'r+-');%绘制优化路径