概率论与数理统计6.第六章：样本及抽样分布

1§6.1随机样本一、总体与样本1.总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标。组成总体的元素称为个体。从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。2.样本：来自总体的部分个体X1，…，Xn，如果满足：（1）同分布性：Xi，i=1,…,n与总体同分布.（2）独立性：X1，…，Xn相互独立；则称为容量为n的简单随机样本，简称样本。而称X1，…，Xn的一次实现为样本观察值，记为x1，…，xn来自总体X的随机样本X1，…，Xn可记为),..(),(~,,1xFxfXXXiidn或显然，样本联合分布函数或密度函数为niinxFxxxF121*)(),,,(或niinxfxxxf121*)(),,,(23.总体、样本、样本观察值的关系统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体。二、统计量定义：称样本X1，…，Xn的函数g(X1，…，Xn)是总体X的一个统计量,如果g(X1，…，Xn)不含未知参数。几个常用的统计量：,1.11niiXnX样本均值,)()(11.22122SSXXnSnii标准差样本均方差样本方差3.样本k阶矩3nikiknikikXXnBXnA11,)(11中心矩原点矩§6.2抽样分布统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：2—分布、t—分布和F—分布。一、2—分布.).(~),1,0(~,,.1221221分布的称为自由度为则设构造nnXNXXniiiidn2.2—分布的密度函数f(y)曲线0,00,)(212)2/(212/yyeyyfynnn3.分位点设X~2(n)，若对于：01，存在0)(2n满足,)}({2nXP则称)(2n为)(2n分布的上分位点。4.性质：4a.分布可加性:若X~2(n1)，Y~2(n2)，X，Y独立，则X+Y~2(n1+n2)b.期望与方差:若X~2(n)，则E(X)=n，D(X)=2n二、t—分布1.构造若X~N(0,1),Y~2(n),X与Y独立，则)(~/ntnYXTt(n)称为自由度为n的t—分布。t(n)的概率密度为tntnnntfn,)1()2()21()(2122.基本性质:(1)f(t)关于t=0(纵轴)对称。(2)f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即xettftn,21)()(lim223.分位点设T～t(n)，若对:01,存在t(n)0，5满足P{Tt(n)}=，则称t(n)为t(n)的上侧分位点注:)()(1ntnt三、F—分布1.构造若1~2(n1)，2~2(n2)，1，2独立，则).,(~//212211nnFnnF称为第一自由度为n1，第二自由度为n2的F—分布,其概率密度为0,00,)1)(2()()/)(2()(2/)(2122122/212121111yyynnnynnnnyhnnnnn2.F—分布的分位点对于：01，若存在F(n1,n2)0，满足P{FF(n1,n2)}=，则称F(n1,n2)6为F(n1,n2)的上侧分位点；注：),(1),(12211nnFnnF§6.3正态总体的抽样分布定理)1,0(~/),,(~,,.121NnXUNXXiidn则若证明:niiXnX11,niiXEnXE1)(1)(,nXDnXDnii212)(1)(n个独立的正态随机变量的线性组合,服从正态分布),(~2nNX)1,0(~/NnX;)1(),,(~,,.2221相互独立与则若SXNXXiidn7222)1()2(Sn)1(~)(12122nXXii).1(~/)3(ntnSXT(3)证明:)1,0(~/NnXU,);1(~)1(222nSnV且U与V独立,根据t分布的构造)1(~1ntnVU,得证!);1,1(~//)1(.),,(~,,),,(~,,.321222221212221211121nnFSSFNYYNXXiidniidn则且两样本独立若其中就有假定进一步).1,1(~/1/1)(,,,)2(2121212221nntnnSYXTw.2)1()1(212222112称为混合样本方差nnSnSnSw8第六章练习题一、选择题1.设总体X~N(μ,σ2),x1,x2,,xn是总体X的样本，下列结论不正确的是（）．（A）x−μσ/√n~N(0,1)；（B）1σ2∑(xi−μ)2ni=1~𝑥2(n−1)；（C）x−μs/√n~t(n-1)；（D）1σ2∑(xi−x)2ni=1~𝑥2(n−1)．2.设x是来自总体N(μ1,σ12)的容量为m的样本的样本均值，Y是来自总体N(μ2,σ22)的容量为n的样本的样本均值，两个总体相互独立，则下列结论正确的是（）．（A）X−Y~N(μ1−μ2,σ12m−σ22n)；（B）X+Y~N(μ1−μ2,σ12m−σ22n)；（C）X+Y~N(μ1−μ2,σ12m+σ22n)；（D）X−Y~N(μ1−μ2,σ12m+σ22n)．3.设总体X~N(μ,σ2),x1,x2,,xn是9来自总体X的样本，则P{|x−μ|σ/√n＜u0.025}=（）．（A）0.975；（B）0.025；（C）0.95；（D）0.05．4.设x1,x2,,xn是来自总体X~N(0,1)的样本,X,S为均值和标准差,则（）(A)X~N(0,1)(B)𝐧X~N(0,1)(C)∑xi2ni=1~𝑥2(n)(D)xs~t(n-1)5.设样本x1,x2,,x9来自总体X~N(1,9),则（）(A)x−13~N(0,1)(B)X−1~N(0,1).(C)x−19~N(0,1).(D)x−1√3~N(0,1)6.设x1,x2,,xn是来自总体X~N(0,1)的样本，则服从𝑥2(n−1)的是（）(A)∑xi2ni=1.(B)s2.(C)(n-1)X2.(D)(n-1)s2.108.设x1,x2,,xn为独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为2的泊松分布，则当n充分大时，随机变量X的概率分布近似服从（）(A)N(2,2n).(B)N(2,4n).(C)N(2,4).(D)N(2n,2).9.设总体X~B(1,p),x1,x2,,xn是来自总体X的样本，X为样本均值，则P{X=kn}=（）(A)P.(B)pk(1−p)n−k.(C)Cnkpk(1−p)n−k.(D)Cnk(1−p)kpn−k.10.设X~t(n)(n＞1),Y=1x2，则（）(A)Y~𝑥2(n)(B)Y~𝑥2(n-1)(C)Y~F(n,1)(D)Y~F(1,n)11.设总体X~N(μ,σ2),x1,x2,,xn是来自总体X的样本，X,S为样本均值和标准差，则（）11(A)E(X2-s2)=μ2-σ2(B)E(X2+s2)=μ2+σ2(C)E(X2-s2)=μ-σ2(D)E(X2-s2)=μ+σ212.设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（）成立。(A)X+Y服从正态分布(B)X²+Y²服从2分布(C)X²和Y²都服从2分布(D)X²/Y²服从F分布二、填空题1．设总体X~N(μ,σ2),x1,x2,,xn是来自总体X的样本，E(X)则X~，E(X)=，D(X)=．2．设总体X~𝑥2(n),x1,x2,,xn是来自总体X的样本，则E(X)=，D(X)=，E(X)=，D(X)=．123.设x1,x2,,xn为来自总体X的样本,E(X)=μ,D(X)=9,X为样本均值,试用切比雪夫不等式估计P{|x−μ|＜2}≥,P{|x−μ|＞3}≤.4.设x1,x2,,x5是总体X~N(0,1)的样本，则当K=时，Y=k(x1+x2)√x32+x42+x52~t(3)5．若总体X~N(0,1)，x1,x2,,x6是来自X的样本，统计量Y=(x1+x2+x3)2+(x4+x5+x6)2，则当C=时，CY服从𝑥2分布，自由度为.三、计算题1.某种电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机取出16只，设它们的寿命相互独立，求这16只元件的寿命的和大于1920小时的概率．2.求总体N(20,3)的容量分别为10和15的13两个独立样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．3.设总体X的数学期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2,x1,x2,,xn是来自总体X的样本，记Y=1n∑(xi−μ)2ni=1，求E(Y)．4.设x1,x2,,x10是来自总体X~N(0,0.32)的样本,求10211.44iiPX。20.1((10)15.987)四、证明题1．设X~N(μ,σ2),Y~𝑥2(1)，且X与Y相互独立，X是来自总体X的容量为n的样本均值，Y是来自总体Y的容量为n的样本均值，证明x−μσ√Y/n~t(n)2.已知X~t(n)，证明X²~F(1,n)。143.设总体X~N(μ,σ2),x1,x2,,xn是来自总体X的样本，𝐘𝟏=𝟏𝟔∑𝐗𝐢𝟔𝐢=𝟏,𝐘𝟐=𝟏𝟑∑𝐗𝐢𝟗𝐢=𝟕𝐒𝟐=𝟏𝟐∑(𝐗𝐢𝟗𝐢=𝟕－𝐘𝟐)𝟐,Z=√𝟐𝐒(𝐘𝟏－𝐘𝟐)证明统计量Z服从自由度为2的t分布。