如果单位反馈控制系统的开环传递函数-K-G-s(-)-s-1

14-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数1)(sKsG试用解析法绘出K从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：(2，j0)，(0+j1)，(3+j2)。解：根轨迹如习题4-1答案图所示。（-2，+j0）在根轨迹上；(0,+j1),(-3,+j2)不在根轨迹上。习题4-1答案图4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。)12()13()(sssKsG试用解析法给出开环增益K从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。解：解析法：K=0时：s=-1/2，0；K=1：s=-1±2/2；K=-∞：s=-∞，-1/3。根轨迹如习题4-2答案图所示。习题4-2答案图4-3已知系统的开环传递函数)1()1()()(sssKsHsG，试按根轨迹规则画出该系统的根轨迹图，并确定使系统处于稳定时的K值范围。解：分离点：0.414；会合点：-2.414；与虚轴交点：±j。稳定的K值范围：K1。2根轨迹如习题4-3答案图所示。习题4-3答案图4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为2*)4)(1)(1()(sssKsG（1）试粗略画出K*由0到∞的根轨迹图；（2）分析该系统的稳定性。解：稳定性分析：系统不稳定。根轨迹如习题4-4答案图所示。-10-505-8-6-4-202468RootLocusRealAxisImaginaryAxis习题4-4答案图4-5设控制系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2*sssssKsHsG，试绘制系统根轨3迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。解：渐近线：=60°，180°；=-2/3；复数极点出射角55°；分离会合点0.46和-2.22；与虚轴交点1.57和2.56；使系统稳定的开环增益为1.46＜K＜2.23(即23.4＜K*＜35.7)。习题4-5答案图4-6已知系统的特征方程为0)4()3)(1)(3)(1(2sKssss试概略绘出K由0→∞时的根轨迹（计算出必要的特征参数）。解：渐近线：=90°，=0；分离点2，相应K=1.88；会合点j3.46，相应K=34.14；复数零点入射角90°；无论K为何值系统均不稳定。习题4-6答案图4-7反馈系统的特征方程为0)160(123234KsKsss作出0K∞的根轨迹，并求出系统稳定时所对应的K值范围。4解：渐近线：=60°，180°；=-2/3；复数极点出射角63°；分离点：1.6，会合点：-3.43。由图可知系统在任何K值下都是不稳定的。习题4-7答案图4-8已知闭环系统的特征方程为0)1()(2sKass。(1)画出a=10时的根轨迹，并说明系统的过渡过程为单调变化和阻尼振荡时K的取值范围；(2)确定根轨迹具有一个非零分离点的a值，并画出相应的根轨迹；(3)在(2)中确定的a值下，求闭环传递函数具有二重极点时所对应的K值；(4)画出a=5时的根轨迹。当K=12时，已知一个闭环极点为s1=2，问该系统能否等效为一个二阶系统？解：（1）渐近线：=90°，=-4.5；会合点：-2.5，分离点：-4。阻尼振荡时K的取值范围为（0，31.3）（32，∞），呈单调变化时K的取值范围为（31.3，32）。习题4-8（1）答案图（2）具有一个非零分离点的a=9。5习题4-8（2）答案图（3）a=9时，闭环二重极点s1,2=-3对应的K=27。（4）渐近线：=90°，=-2；不能等效。画出a=5时的根轨迹。-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50-5-4-3-2-1012345RootLocusRealAxisImaginaryAxis习题4-8（4）答案图4-9设单位反馈系统的开环传递函数为)()(assKsG试绘出K和a从零变到无穷大时的根轨迹簇；当K=4时，绘出以a为参变量的根轨迹。解：令a=0绘制K为参变量的根轨迹如习题4-9答案图之一所示。6习题4-9答案图之一当K取不同值时，绘出a变化的根轨迹簇如习题4-9答案图之二所示。当K=4时，画a从零到无穷大时的根轨迹如图中粗线示。习题4-9答案图之二4-10设单位反馈系统的开环传递函数为)1)(1()(sTssKsG其中开环增益K可自行选定，试分析时间常数Ta对系统性能的影响。解：重做该题。等效开环传递函数2'2(1)()TssGsssK当K时，G(s)’具有实数极点。取任何正实数Ta系统都是稳定的。选择K=0.1画根轨迹如习题-答案图之一所示。7-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2RootLocusRealAxisImaginaryAxis习题答案图之一当K时，G(s)’具有复数极点。取K=0.5，1，2，画根轨迹如习题-答案图之二所示。当0K1时，取任何正实数Ta都是稳定的；当Ta1时，K2，否则系统不稳定。-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8RootLocusRealAxisImaginaryAxis8-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81RootLocusRealAxisImaginaryAxis-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.2-1.5-1-0.500.511.5RootLocusRealAxisImaginaryAxis习题答案图之二4-11设控制系统中)1()(2ssKsG，1)(sH。该系统在增益K为任何正值时，均不稳定。试画出该系统的根轨迹图。利用作出的根轨迹图，说明在负实轴上加一个零点，将G(s)改变为G1(s)，即)10()1()()(21assasKsG可以使系统稳定下来。解：（1）渐近线：=60°，180°；=-1/3。画出根轨迹如习题-答案图之一所示。（2）取a=0.5，渐近线：=90°，=(a-1)/2。画出根轨迹如习题-答案图之二所示。从图中可以看出增加开环零点后使得根轨迹向s左半平面弯曲，从而使得闭环系统的稳定9性得到提高。习题-答案图之一习题-答案图之二4-12设控制系统开环传递函数为)4)(2()1()(2ssssKsG，试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同。解：负反馈系统：渐近线：=60°，180°；=-5/3；与虚轴交点s=1.414，K=12。根轨迹如习题-答案图之一所示。正反馈系统：渐近线：=0°，120°；=-5/3；根轨迹如习题-答案图之二所示。稳定情况的不同：正反馈系统恒不稳定，负反馈系统条件稳定，稳定范围0K12。习题-答案图之一习题-答案图之二4-13已知系统如图4.23所示。画出其根轨迹，并求出当闭环共轭复数极点呈现阻尼比0.707时，系统的单位阶跃响应。10图4.23习题4-13图解：=0.707时系统的闭环极点为s1,2=-2j2，s3=-2。此时，K=2。根轨迹如习题-答案图所示。当闭环共轭复数极点呈现阻尼比为0.707时系统的单位阶跃响应为-2-2()12e2ecos(245)ttctt习题-答案图画一张响应曲线图：求c(t)。已知16()(2)(22)(22)Cssssjsj114-14系统的开环传递函数为)5.0)(2()52()()(2ssssKSHsG。(1)绘制系统的根轨迹图；(2)确定系统稳定时K的取值范围；(3)若要求系统单位阶跃响应的超调量为16.3％，确定相应的K值。解：(1)分离点：-0.41，K=0.24；复数零点入射角200°；与虚轴交点j1.25。根轨迹如习题-答案图所示。(2)稳定时的k的范围是：0.2K0.75。(3)单位阶跃响应的超调量为16.3%时K的值为0.311。习题-答案图4-15已知系统的信号流图如图4.24所示。且可变系数０(1)证明该系统实轴以外部分的参数根轨迹为半圆周。(2)完整准确地画出系统的参数根轨迹。(3)以根轨迹为依据，求出满足系统阻尼比=0.5时的值。图4.24习题4-15图解：（1）证明略。（2）会合点s=-1；复数极点出射角180°；根轨迹如习题-答案图所示。（3）=0.5时的=0.999。12习题-答案图4-16设控制系统如图4.25所示，试概略绘出Kt=0，0Kt1，Kt1时的根轨迹和单位阶跃响应曲线。若取Kt=0.5，试求出K=∞时的闭环零极点，并估算出系统的动态性能。图4.25习题4-16图解：（1）Kt=0时的根轨迹和单位阶跃响应曲线如习题-答案图之一所示。习题-答案图之一响应曲线不对已知2()()KCssssK，请选K=0.5做响应曲线。此时=0.707。13（2）0Kt1，取Kt=0.5时，根轨迹和单位阶跃响应曲线如习题-答案图之二所示。习题-答案图之二响应曲线不对已知2()(05)KCssssK+.Ks，请选K=1做响应曲线。14（3）Kt1，取Kt=2时，根轨迹和单位阶跃响应曲线如习题-答案图之三所示。习题-答案图之三响应曲线重画已知2()(2)KCssssK+Ks，请选K=1做响应曲线。15（4）闭环极点：-2；闭环零点：无；可等效为一阶系统，时间常数T=0.5。估算系统性能：%≈0%ts≈3T=1.5s4-17系统结构如图4.26所示。(1)试求当K从0～∞时系统C(s)／N(s)的根轨迹图。(2)若N(s)=1／s，讨论K值大小对输出响应的影响。图4.26习题4-17图解：（1）复数零点的入射角为0°。K0特征根为一对共轭复数，系统稳定。根轨迹曲线如习题-答案图所示。-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81RootLocusRealAxisImaginaryAxis习题-答案图（2）K值大小对输出响应的影响：K值小时，大，ts长。