高等数学第七章测试题答案(第7版)

第七章测试题答案一、填空（20分）1、5322xyxyxyx是3阶微分方程；2、与积分方程xxdxyxfy0),(等价的微分方程初值问题是0),(0xxyyxfy；3、已知微分方程02yyy，则函数xexy2不是（填“是”或“不是”）该微分方程的解；4、设1y和2y是二阶齐次线性方程0)()(yxqyxpy的两个特解，21,CC为任意常数，则2211yCyCy一定是该方程的解（填“通解”或“解”）；5、已知1y、xy、2xy是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为：1)1()1(221xCxCy；6、方程054yyy的通解为)sincos(212xCxCeyx.7、微分方程xyycos4的特解可设为xBxAysincos*；8、以221xx为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是：044yyy；9、微分方程1xeyy的特解*y形式为：baxeyx；10、微分方程044yyyy的通解：xCxCCx2sin2cose221。二、（10分）求xxyy的通解.解：由一阶线性微分方程的求解公式)(11Cxdxeeyxdxx，xCxCdxxx2231)(1三、（10分）求解初值问题2)0(,0yxyy.解：0xyy分离变量xxyydd1，两边同时积分Cxyln2ln2，22exCy，又由2)0(y，得2C，故222xey四、（15分）曲线的方程为)(xfy，已知在曲线上任意点),(yx处满足xy6，且在曲线上的)2,0(点处的曲线的切线方程为632yx，求此曲线方程。解：xy6得123Cxy，213CxCxy，又由32)0(,2)0(yy知，2,3221CC，故曲线方程为2323xxy五、（15分）求齐次方程0)1(2)21(dyyxedxeyxyx的通解.解：原方程可化为yxyxeyxedydx21)1(2，令yxu，则yux，dyduyudydx.原方程变为：uueuedyduyu21)1(2即uueuedyduy212.分离变量，得ydyduueeuu212两边积分得：Cyueulnln)2ln(即yCueu2.以yx代入上式中的u，化简得方程的通解为：Cxyeyx2.六、（15分）求解初值问题：0,101311xxyyyy.解：设py，则dydppy，代入方程得：013dydppy，分离变量并积分，得：Cyp21212122，即Cyp2.当1x时，,1y0p，得1C.则12ydxdyp.分离变量并积分，得：211yCx由11xy，得11C.则21)1(yx即22xxy.七、（15分）求方程xyyy2344的通解.解：该方程对应的齐次方程的特征方程为0452rr，解得1,421rr则xxeCeCY241.由于0不是特征根，所以设*y为baxy*，代入原方程，得：811,21ba.所以81121*xy.该二阶常系数非齐次线性方程的通解为81121241*xeCeCyYyxx.