高三复习经典专题6：周期数列问题

周期数列的性质及应用我们在学习函数时，通常会围绕着函数的单调性、奇偶性和周期性进行研究；那么，数列作为一种特殊的函数，它是否有周期性呢？有周期性的数列又有哪些特点呢？下面是我在教学中总结出的几点认识，仅供大家参考．1、周期数列的概念及主要性质类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列}{na，如果存在一个常数T)(NT，使得对任意的正整数0nn恒有nTnaa成立，则称数列}{na是从第0n项起的周期为T的周期数列．若10n，则称数列}{na为纯周期数列，若20n，则称数列}{na为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期．通过周期数列的定义以及所学过的周期函数的性质，发现周期数列满足以下性质：（1）如果T是数列}{na的周期，则对于任意的Nk，kT也是数列}{na的周期．（2）若数列}{na满足21nnnaaa（Nn，且2n），则6是数列的一个周期．（3）已知数列}{na满足ntnaa（Ntn,，且t为常数），nS分别为}{na的前n项的和，若rqtn（tr0，Nr），则rnaa，rtnSqSS．特别地：数列}{na的周期为6，（即：nnaa6）则262012335SSS（4）若数列}{na满足saaknn),(Nnkn，则数列}{na是周期数列；若数列}{na满足saaaknnn1),(Nnkn，则数列}{na是周期数列．若数列}{na满足saaaknnn1)0,,(sNnkn，则数列}{na是周期数列．特别地：数列}{na满足saann1),(Nnkn，则数列}{na周期T=2；数列}{na满足saaannn21),(Nnkn，则数列}{na周期T=3数列}{na满足saann1),(Nnkn，则数列}{na周期T=2；数列}{na满足saaannn21),(Nnkn，则数列}{na周期T=3（5）若数列}{na满足,11dcabaaannna+d=0,则数列}{na是周期T=2；例：数列}{na满足,37311nnnaaa则数列}{na是周期T=2；；2、周期数列性质的简单应用（1）求周期数列的通项公式例1（04山东数学竞赛）、已知数列}{na满足21a，nnaa111，求na．分析：周期数列的通项公式通常都可以分段表示，所以只需求出它的一个最小正周期即可．解：∵nnaa111，∴111112nnnaaa，从而nnnnaaaa111123；即数列}{na是以3为周期的周期数列．又21a，211112aa，11123aa，所以332313,1,21,2knknknan．例2、若数列}{na满足)121(,12)210(,21nnnnnaaaaa；若761a，则20a的值为（）．A．76B．75C．73D．71．解析：紧扣分段函数的定义，代入a1=76求得a2=75，并依次求出,76,7343aa．故此数列是周期为3的周期性数列，故75220aa．故选B．（2）求周期数列中的项例3（由第十四届希望杯改编）、已知数列}{na中，5,321aa且对于大于2的正整数，总有21nnnaaa，则2009a等于（）．A．-5B．-2C．2D．3．解析：由性质（2）知，数列}{na是以6为周期的周期数列，而533462009，再由性质（3）可得5)(3233452009aaaaaaa，故选A．例4（上海中学数学杂志2000年的第1期）、已知实数列}{na满足aa1（a为实数），11313nnnaaa(Nn)，求2000a．解：11313nnnaaa(Nn)可变形为1133133nnnaaa．我们发现1133133nnnaaa与三角式6tantan16tantan)6tan(xxx十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系的原型．通过运算，发现本题中可取na=6tann，6)1(tan1nan．显然此数列的周期是6．而263332000，再由性质（3），得aaaa31322000．注：此类问题也可采用不动点法求解，有兴趣的朋友不妨试一下．（3）求周期数列的前n项和例5、设数列}{na中，21321aaa，，且对Nn，有321nnnnaaaa=321nnnnaaaa（121nnnaaa）成立，试求该数列前100项和100S．解：由已知条件，对任何自然数N，有321nnnnaaaa=321nnnnaaaa，把式中的n换成1n，得4321nnnnaaaa=4321nnnnaaaa．两式相减得，44321)(nnnnnnnaaaaaaa．因为1321nnnaaa，所以nnaa4)(Nn．所以}{na是以4为周期的周期数列，而254100，再由性质（3），得200)4211(25254100SS．例6（上海08质检题）、若数列}{na满足nnnaaa12)(Nn，nS为}{na的前n项和，且20082S，20103S，求2008S．解析：由nnnaaa12及性质（2），可知所以数列}{na是以6为周期的周期数列．由20082S，20103S，知200821aa，2010321aaa，再结合123aaa，可求得10031a，10052a，23a；由递推关系式可进一步求得10034a，10055a，26a．因为433462008，由性质（3），得100710070334334462008SSS．（4）求周期数列的极限例7、（06北京）在数列}{na中，1a，2a是正整数，且21nnnaaa，5,4,3n，则称}{na为“绝对差数列”．若“绝对差数列”}{na中，320a，021a，数列}{nb满足21nnnnaaab，3,2,1n，分别判断当n时，数列}{na和}{nb的极限是否存在，如果存在，求出其极限值．解析：因为在绝对差数列}{na中320a，021a．所以自第20项开始，该数列是320a，021a，322a，323a，024a，325a，326a，027a…．即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当n时，na的极限不存在．当20n时，126nnnnbaaa，所以lim6nnb．周期数列练习1、已知数列}{na满足，,11a,22a,21nnnaaa),3(Nnn.则17a()A.1B.2C.21D.98722、n个连续自然数按规律排成下表：（）03→47→811…↓↑↓↑↓↑1→25→69→10根据规律，从2011到2012的箭头方向依次为（）。A.↑→B.→↑C.↑→D.→↓3、已知数列}{na满足，,31a,62a,12nnnaaa则.______2012a已知数列}{na满足，,31a,62a,12nnnaaa则.______2012a4、已知数列}{na满足，,12)1(1naannn)(Nn，则数列}{na的前60项之和为——————。5、已知函数xxxf11)(，设数列}{na满足：,0(1aaa且),1a),(1nnafa,nS为数列}{na的前项和。（1）若2a求432,,aaa（2）求证：}{na为周期数列（3）探究：是否存在满足41a，使?,20082008S