弹性力学平面问题极坐标

§6-5平面问题在极坐标系下的基本方程yOPrxxy一.直角坐标与极坐标的微分关系222rxyarctanyxcosxrsinyrcosrxxrsinryyr2sinyxrr2cosxyrrsincosrxxrxrrrcossinryyryrr此即一阶微分关系在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物体宜采用极坐标(r,)来解。同理可得各阶微分关系，如22sinsincoscosrrrrxsinsinsinsincoscoscoscosrrrrrrrr22222222211cossincossinsinsincoscossinrrrrrrrr22222222222sincossin2sincossincosrrrrrrr22x2222222222222sincoscos2sincoscossinrrrryrrr222222222222cossinsincossincoscossinsincosxyrrrrrrr222222222211xyrrrrr二.极坐标系下的平衡微分方程1.直角坐标与极坐标系下的应力分量关系如图，根据应力状态的定义，过P点分别以r方向和方向为法线的截面上的应力r、、rr，作为在极坐标系下的应力分量。（1）极坐标系下的应力分量和体力分量ryOxrPrrr（2）应力分量的坐标转换视P-r为旧坐标，P点的应力状态为r、、rr；视O-xy为新坐标，求P点的应力分量x、y、xyyx。由应力状态的坐标转换公式r称为径向应力，称为环向向应力。ryOxrPFbFbr代入计算得（3）体力分量的坐标转换设极坐标系下的体力分量为Fbr、Fb。将其分别向x、y方向投影得2.极坐标系下的平衡微分方程由直角坐标系下的平衡微分方程推导00yxxxxyyyfxyfxyxx22sincoscossin2sincosrrrr32222cossincos2sincossincos2sincossinsin2sincos2sinsincoscos2rrrrrrrrrrrrrxry当0时ryx以此位置的直角坐标系，建立平衡微分方程。即同理021yryrr0xyrxr01xyrryrrbb0xrFFbb0yFFb0b000yxxxxyyyFxyFxy代入即得b10rrrrFrrrb210rFrrr0xrxr三.极坐标系下的几何方程1.直角坐标与极坐标系下的位移分量关系ryOxrPuuruv类似体力分量的投影关系2.极坐标系下的应变分量将P点分别沿r和方向（相互垂直）两线元的线应变r、及其切应变r，作为P点的应变分量。3.极坐标系下的几何方程可通过微分关系直接由直角坐标系下的几何方程得到。同前分析，当0时，所以即四.极坐标系下的物理方程因r、方向正交，则物理方程与直角坐标系下具有相同形式。即当为平面应变问题时，E1E、1。五.极坐标系下的相容方程极坐标系下如果用应力函数表示相容方程，体力必须为零或关于(r，)有势。22222211,0rrrrr（展开共8项）将O-xy坐标系旋转至x与r重合，即0，此时ryx在不计体力的情况下，可通过微分关系直接由直角坐标系下的相容方程得到。所以五.极坐标系下的应力边界条件设边界S的外法线方向与r、方向的方向余弦分别为l1、l2，其上作用的面力沿r、方向的分量分别为pr、p。则其应力边界条件与直角坐标系下具有相同形式。即1212()()()()rsrsrrssllpllp当体力不为零或无势时，可用应力表示相容方程2xy2bbb11rrrFFFrrrbb0(1)yxFFxy例6-6写出图示问题的应力边界条件（1）Oxylq0r上边：0()000()rql斜边：()0p()0（2）rPM内侧：r()0rra0()0rr外侧：()0rrb()0rrbxOyab0，l10，l21，l10，l2+1ra，l11，l20rb，l1+1，l20r上端：0，l10，l21或向O简化面力向形心简化rxOyabPMOMxy（3）半无限平面rrra当r0时，上边00()0()0r()0()0r当r0时，O点受集中力偶，但无法使用圣维南原理进行简化。可使用截面法建立外力与内力的关系，即O点的应力边界条件。由半圆上的应力和外力的平衡关系，有0xF0cosdrraa0sindrraa00cossind0rrrara0a0yF0sincosd0rrrara0a0zM0d0rraaaM20drraaM0a五.极坐标系下的基本方程总结平衡微分方程b10rrrrFrrrb210rrFrrr几何方程物理方程相容方程22222211,0rrrrr应力分量应力边界条件1212()()()()rsrsrrssllpllp位移边界条件()()rsrsuuuu（不计体力）（无体力）2bbb11rrrFFFrrr（计体力）或§6-6平面问题在极坐标系下求解一.轴对称问题的应力与相应的位移1.轴对称问题的特征（1）截面的几何形状对称于中心轴，（2）荷载与约束对称于中心轴。如圆环、圆盘、圆筒。因此环向体力Fb0；在边界上，环向的面力和位移为零；即()00sup（3）导致物体的应力、应变和位移分布也是轴对称的。即0u0r0rrxyO由于任何通过中心轴（z轴）的平面均为对称面，故各分量均与无关。即bbrrrrFFrpprrrrrrrrrrruurr2.轴对称问题的基本方程平衡微分方程bd0drrrFrr几何方程物理方程相容方程222d1d0ddrrrr应力分量边界条件()rsrp()rsruu（不计体力）（不计体力）2bbd1drrrFFrr计体力时1ur3.应力函数与应力分量将相容方程展开得43243223d2d1d1d0ddddrrrrrrr令22dd1ddddrrtrddd1dddddtrrtrt21d1dddddtrrtr21d1dddddddttrrttr2221ddddtrt同理3323332d1ddd3ddddtrrtt443244432d1dddd6116dddddtrrttt代入432432ddd440dddttt——常系数微分方程特征方程43244012034222tttBteCeD22lnlnrBrrCrD平面轴对称问题（不计体力），应力分量的一般表达式。其中A、B、C为待定系数，由边界条件和位移单值条件确定。——平面轴对称问题（不计体力）的应力函数4.位移分量由物理方程和几何方程10uuurrr①②③①式积分代入②式积分得将ur、u代入③式，整理得11dddddfrffrrfr欲使之成立，两端必等于同一常数。即11ddfrfrrFrdddffF——F为常数分别解方程1frHrFsincosfFIK所以，无体力应力轴对称的位移分量其中，A、B、C、H、I、K为待定常数，由应力边界条件、位移边界条件（约束）和位移单值条件确定。5.几点说明（1）当物体仅几何和荷载轴对称时，只产生轴对称应力，位移不一定轴对称（从u可见）。称之为轴对称应力问题。（2）轴对称应力问题的位移不一定轴对称乃约束不一定轴对称所致。可以证明，I、K为物体分别沿x、y方向的刚体位移，H则为绕轴心的刚体转动。（3）当位移边界条件（约束）也轴对称时，位移也轴对称，应有u0，则BHIK0（4）多连体中的位移单值条件，实质上就是物体的连续性条件。（即位移连续性条件）。按位移法求解时：若取位移分量为单值，由此求出的应变分量（几何方程）也为单值，求出的应力分量（物理方程）也为单值；按应力法求解时：若取应力分量为单值，由此求出的应变分量（物理方程）也为单值，但求出的位移分量（几何方程积分）常为多值。对于单连域，位移单值条件一般自然满足；但对于多连域一般需检验位移单值条件。1.圆环或圆筒受均布压力qaqbbaO二.轴对称问题示例已知：abqqab、、、求：应力分布。（1）确定应力分量的表达式：边界条件：0rrararaq0rrbrbrbq代入应力分量表达式，有式中有三个未知常数，二个方程还不足以完全确定常数考察多连体中的位移单值条件。是多值函数，如(r,)和(r,)同指一点，但由此计算却得出两个位移。由位移的单值条件，必有：B=0所以2222()baabqqAba22222abqaqbCbaqbbaO将其代回应力分量式222222222222222221111rabbaabbarrqqbaabqqqaqbabbarba222222222222222221111abbaabbarrqqbaabqqqaqbabbarba（繁分式称为拉梅解答）讨论：（1）外压无内压：2222210brqbabar2222210bqbabarr●当a0时：rbq二向等压（2）内压无外压：qabar●当b时：具有圆孔的无限大薄板