3.11-声波在波导中的传播(2学时)

3-11声波在波导中的传播（1）波导,至少在一维方向上是无限制的有限介质空间。（2）声波在波导中的传播是指声波在有界介质空间中的传播。（3）本课解波导中声传播的方法，要求波导的截面‘规则’。（4）波导的截面‘规则’，是指亥姆霍兹方程在波导的截面上可分离变量求解。3-11-1声波在流体平面层波导中的传播1、平行平面层中声传播的一般关系－－形式解声场计算模型：声波在区域传播，并设声波为简谐波（振动为时间简谐函数）。并假设声场的声学量与y坐标无关。则波动方程为：),(),0[],0[yhx，，z012222222t)t,z,x(pcz)t,z,x(px)t,z,x(pckzhxzxpkzzxpxzxp);,0[],,0[;0),(),(),(22222则：令，,),(),,(jtezxptzxp此方程的形式解为：);)((),(jjjjzkzkxkkxkzzxxxDeCeBeAezxp222kkkzx（1）因为波场沿z轴只有正方向传播的行波；所以D＝0。（此结果的物理本质是时声波无反射的边界条件）（2）因为波场沿x是驻波（两个相反方向的行波的迭加），所以：zzkxkxzxexkBxkAzxpj)sincos(),(这就是平行平面层中声传播的形式解。简化形式解：2、绝对硬边界条件下波导中的简正波：绝对硬边界条件：;|)z,x(u;|)z,x(uhxxxx000;0|),(;0|),(0hxxxzxpxzxp由尤拉公式代入形式解中：zkxxkxxzxexkBkxkAkzxpxj)cossin(),(00|),()1(0Bzxpxxhnknhkhkzxpxxxxhxππ0sin0|),()2(;)sincos(),(jzkxkxzxexkBxkAzxp形式解zhnknntexhnAe22)π(j0jπcos其中，An由另一个边条件确定（z＝0处）。hnkBxπ;0其中：所以),,(tzxp若源条件为：tzzeuuj00|则，代入上式，得：zhnknntzhnknntzehnkxhnAeehnkxhnAeztzxptzxu2222)π(j220j)π(j220j)π(1πcos)π(jj1πcos),,(j1),,(例:tnntzzeuxhnAhnketzxuj0022j0πcos)π(1|),,(0022πcos)π(1uxhnAhnknnhnhndxxhmudxxhmxhnAhnk000022πcosπcosπcos)π(1例:)j(0j0j),,(kztkztceuceuetzxp——平面波场)0(;0;00000nAcukuAukAnmnmndxxhmxhnmh0πcosπcos0020mhmhm因为：；所以：000πcos0mmhdxxhmh例:的分析：;πcos22)π(jhncztnexhnA简正波的概念定义，简正波:声波在波导中传播，由于边界的限制，据边界的性质，在边界的限制方向取某些特定的驻波形式，而在无边界限制方向为传播的行波形式，称此为给定波导中的简正波。对解此函数表示的波场是，x方向为驻波，z方向为行波。取级数中的一项，...3,2,1,0n22πj(())0π,,cos;ntzkhnnnpxztAxeh是亥姆霍兹方程在给定波导截面和边界条件下的‘本征函数’。通常以本征值中的n，定义简正波的阶数。;πcos))π(j(22hnkztnexhnA从数学上讲，函数：例，上式为绝对硬边界平行平面层波导中的第n阶简正波。‘本征函数’就是‘简正波’吗？——否！简正波的要点之一是，沿无边界限制方向为传播的行波。当，)π()(hnc是沿无边界限制方向（z方向)不传播的非均匀波。因此，简正波仅仅是波导波场的‘本征函数’中的一部分。))π()(j(22πcoshncztnexhnA而：时，定义，截止频率：声波在波导中传播，如果某阶简正波随声波频率的降低，由正常传播的简正波开始蜕化为非均匀波则称此时的声波频率为该阶简正波的截止频率，记fn。))π()(j(22πcoshncztnexhnA例，求：绝对硬边界，平行平面层波导中的第n阶简正波的截止频率fn。如何确定哪些‘本征函数’是简正波？传播的非均匀波。常阶简正波蜕化为不能正时，第而当声波频率阶简正波能正常传播。时，第也就是，当声波频率nffnffnn均匀波（蜕化简正波））时，该本征函数为非（）（而，阶简正波常传播的第）时，该本征函数为正（）（hncnhncππ条件）决定于声源的振幅分布阶简正波的条件：波导中出现第(0)2(;)1(nnAffn....)3,2,1,0(;2π2)π(nhncchnfn所以：以绝对硬边界，平行平面层波导中的第n阶简正波为例，讨论简正波的特性：（1）第n阶简正波的截止频率：))π()(j(22πcos),,(hncztnnexhnAtzxpchnnπ0)π()(22nnnhnckz解出截止角频率hncfn2可得截止频率：由式（2）第n阶简正波沿波导截面的振幅值分布：....3,2,1,0;πcosπcos),,())π()(j(22nxhnAexhnAtzxpnhncztnn表示第n阶简正波沿波导截面的振幅值分布。由式：幅值示意图：0阶简正波的幅值沿x方向均匀，等相位面沿z方向以波速c传播——与平面波相同。n阶简正波的幅值沿x方向有波节和波腹，不均匀。阶数越大越不均匀。（3）第n阶简正波分解为两个行波的迭加：)(2)(2πcos),,())π()(πj())π()(πj())π()(j(πjπj))π()(j(22222222hnczxhnthnczxhntnhncztxhnxhnnhncztnneeAeeeAexhnAtzxp第n阶简正波分解的行波，其传播方向与z轴的夹角为：hknnπsin简正波行波分解示意图①相速度：——某声学量的等相位面传播的速度。))π()(j(22πcos),,(hncztnnexhnAtzxp等相位面：其中：常数;)(zktnz所以，波导中第n阶简正波声压函数沿z方向传播相速度：chknchnkkdtdzcnnzzzktpn222)()π(1)π(|常数22)π()(hncknz（4）第n阶简正波传播的相速度和群速度第n阶简正波声压函数：绝对硬边界，平行平面层波导中的前5阶简正波的声压相速度频散介质：若在介质中，波的传播速度与波频率有关。则该介质为频散介质。一般，波导是简正波的频散介质。声波在频散介质中传播，声信号会发生畸变。00.0050.010.0150.020.0250.030.0350.04-2-1.5-1-0.500.511.52time/sAmplitudex1+x2;(f1=100Hz;f2=500Hz)00.0050.010.0150.020.0250.030.0350.04-2-1.5-1-0.500.511.52time/sAmplitudex1+x2(phase);(f1=100Hz;f2=500Hz)两列波叠加同相位两列波叠加有相位差②群速度：dkdcg如果，介质中两个相近频率的同方向传播的平面波：)j(111),(xktAetxp)j(222),(xktAetxp]2)(2)(cos[]2)(2)(cos[2)]cos()[cos(121212122211xkktxkktAxktxktA取实部则总声场：群速度的物理意义分析：)(),()j()j(212211xktxkteeApptxp；振动幅值（波包）传播的速度：常数2)(2)(1212xkkt表示波场振动幅值的时空函数：]2)(2)(cos[1212xkkt波场等幅值的时空综量：dkdkkkdtdxx)kk(t)(1212221212常数不同时刻两个同方向传播的平面波声场声压空间分布所以，群速度，是波包传播的速度，是信号传播的速度，是能量传播的速度。))π()(j(22πcos),,(hncztnnxehnAtzxp第n阶简正波沿波导无限制的z方向的群速度为：ckhncckhnkddkdkdcnznzng222)π(1)π(1绝对硬边界，平行平面层波导中的第n阶简正波声压函数：绝对硬边界，平行平面层波导中的前5阶简正波的群速度小结：波导中声传播的简正波理论要点：1.声波在有限空间传播时可看作许多简正波传播的迭加；2.简正波的函数形式与波导截面形状和界面边条件有关；3.各阶简正波的幅值沿波导截面的分布与截面形状及界面边条件有关;4.各阶简正波的截止频率与界面边条件、截面形状和尺寸有关；小结：波导中声传播的简正波理论要点：5.各阶简正波以不同的相速度和群速度沿波导无限制方向传播；6.各阶简正波的相速度和群速度与声波频率有关；所以，声波在波导中传播有频散现象，传播过程中声信号畸变。7.当声波频率时，第n阶简正波能正常传播，而当时，简正波蜕化为非均匀波；蜕化简正波不传播,存留在声源附近；8.各阶简正波的幅值由声源条件决定。nffnff-20200.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=0-10100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=1-10100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=2前四阶简正波沿波导截面的幅值分布（上下边界都是绝对硬）-10100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=3-10100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=0-10100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=1-10100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=2前四阶简正波沿波导截面的幅值分布（上绝对软，下绝对硬）-10100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=3-10100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=0-10100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=1-10100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=2前四阶简正波沿波导截面的幅值分布（上绝对硬，下绝对软）-10100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=3-10100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=1-10100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=2-10100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=3-10100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=4前四阶简正波沿波导截面的分布（上绝对软，下绝对软）•作业：p154•1，2题RenJieisagreatman.Heisthegreatestmanintheworld.谢谢！第三章教学要求（1）掌握理想流体的三个基本方程并能推导波动方程；（2）熟练掌握谐和平面波、柱面波和球面波以及非