第9讲-二元一次方程组的应用

数学教研组编写七年级寒假人教版课件第九讲二元一次方程组的应用解读一列二元一次方程组根据题目中的数量关系，列出二元一次方程组．【例1】我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马，多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为()A．=10033=300xyxyB．=1003=100xyxyC．=10013=3002xyxyD．=10013=1003xyxy【答案】D【变1】今年“五一”节，A，B两人到商场购物，A购3件甲商品和2件乙商品共支付30元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付45元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组___________．【答案】32=3053=45xyxy解读二列二元一次方程组解应用题的步骤列二元一次方程组解应用题的步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，找出实际问题中的两个相等关系；（2）用两个字母表示题目中的两个未知数；（3）根据两个相等关系分别列出方程，从而得到方程组；（4）解方程组；（5）检验解是否符合原方程组和实际情况；（6）写出答案．温馨提示：方程组的解不一定符合问题的实际意义，所以一定要进行检验．【例2】一家公司加工蔬菜，有粗加工和精加工两种方式，如果进行粗加工，每天可加工15吨；如果进行精加工，每天可加工5吨．该公司从市场上收购蔬菜150吨，并用14天加工完这批蔬菜．请问粗加工蔬菜和精加工蔬菜各多少吨？【答案】解：设粗加工蔬菜为x吨，精加工蔬菜为y吨，根据题意得：=150=14155xyxy，解得：=120=30xy．答：粗加工蔬菜为120吨，精加工蔬菜为30吨．【变2】初一级学生去某处旅游，如果每辆汽车坐45人，那么有15个学生没有座位；如果每辆汽车坐60人，那么空出1辆汽车．问一共多少名学生，多少辆汽车？【答案】解：设一共x名学生，y辆汽车，根据题意得：45=1560=60xyyx，解得：=240=5yy．答：一共240名学生，5辆汽车．探究一数字问题1．对于数字问题，要明确数与各数位上的数字之间的关系．两位数的表示方法为“两位数＝十位数字×10＋个位数字”，以此类推，可知三位数，四位数…的表示方法．2．数字问题中所求的量一般是原数，解题时，一般先设原数各数位上的数字为未知数，并求得结果，再写出这个数．【例1】一个两位数的十位数字与个位数字的和是7．如果把这个两位数加上45，那么恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，则原来的两位数是()A．36B．25C．61D．16【答案】D【变1】有两个比40大的两位数，它们的差是20，大数的4倍与小数的和能被29整除，求原来的这两个两位数．【答案】解：设原来的两位数分别为x，y，根据题意得：=204=29xyxym，解得：29=4529=165xnyn．∵n为正整数，∴11=33=13xy(舍去)，22=62=42xy，33=91=71xy，44=120=100xy(舍去)．答：原来的这两个两位数为62、42或91、71．探究二和差倍分问题较大量＝较小量＋多余量，总量＝每份的量×份数．【例2】有这样一个故事：一只驴子和一只骡子驮着不同袋数的货物一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”，那么驴子原来所驮货物有_______袋．【答案】解：设驴子原来所驮货物的袋数是x，骡子原来所驮货物的袋数是y．由题意得2(1)=11=1xyxy解得=5=7xy，故答案是：5．【变2】阅读下列材料：《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁，母，雏各几何．”译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡，母鸡，小鸡各有多少只？结合你学过的知识，解决下列问题：（1）若设公鸡有x只，母鸡有y只，①则小鸡有________________只，买小鸡一共花费________________文钱；(用含x，y的式子表示)②根据题意列出一个含有x，y的方程：___________________________；（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？【答案】解：（1）若设公鸡有x只，母鸡有y只，①则小鸡有(100－x－y)只，买小鸡一共花费13(100－x－y)文钱；②根据题意列出一个含有x，y的方程：5x＋3y＋13(100－x－y)＝100；故答案为：①100－x－y、13(100－x－y)；②5x＋3y＋13(100－x－y)＝100；（2）设公鸡有x只，母鸡有y只．根据题意，得：123(100)=1003=3xyxyxy，解得=12=4xy，100－x－y＝100－12－4＝84(只)．答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只．探究三增长率问题增长量＝原有量×增长率，原有量＝现有量－增长量，现有量＝原有量×(1＋增长率)．【例3】某工厂去年的总收入比总支出多50万元，计划今年的总收入比去年增加10％，总支出比去年节约20％，按计划今年总收入将比总支出多100万元．今年的总收入和总支出计划各是多少万元？【答案】解：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元．根据题意，得=50(110%)(120%)=100.xyxy解得=200=150xy，∴(1＋10%)x＝220，(1－20%)y＝120．答：今年的总收入为220万元，总支出为120万元．【变3】某农场前年玉米和小麦的产量共200吨，去年采用了种植新技术，去年玉米和小麦的产量共222吨，其中玉米增产5％，小麦增产15％，该农场去年玉米和小麦的产量分别是多少吨？【答案】解：设农场去年计划生产玉米x吨，小麦y吨，根据题意可得：=200(15%)(115%)=222xyxy，解得：=80=120xy，则80×(1＋5%)＝84(吨)，120×(1＋15%)＝138(吨)，答：农场去年实际生产玉米84吨，小麦138吨．探究四配套问题解决配套问题，首先要找出配套本身所存在的数量比例关系，根据数量关系列方程组求解．【例4】初一1班学生为了参加学校文化评比买了22张彩色的卡纸制作如下图形(每个图形由两个三角形和一个圆形组成)，已知一张彩色卡纸可以剪5个三角形或3个圆形，要使圆形和三角形正好配套，需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，可列式为()A．=225=6xyxyB．=226=5xyxyC．=223=10xyxyD．=2210=3xyxy【答案】A【变4】用铁皮做罐头盒，每张铁皮可以做盒身16个或盒底43个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒，现有150张铁皮，则用多少张张做盒身，多少张做盒底，能使盒身与盒底刚好配套？【答案】解：设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，=15043=216xyyx，解得：=86=64xy．答：用86张做盒身，64张做盒底．探究五行程问题1．相遇问题：甲路程＋乙路程＝总距离．2．追及问题：（1）同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；（2）同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者走的路程．【例5】甲，乙两人相距42km，若相向而行，则需2小时相遇，若同向而行，乙要14时才能追上甲，则甲，乙二人每小时各走()A．12km，9kmB．11km，10kmC．10km，11kmD．9km，12km【答案】D【变5】A，B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求甲乙二人的速度．【答案】解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时．由题意得：4()=36(366)=2(366)xyxy解得：=4=5xy答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时．探究六销售问题利润＝售价－进价，利润率＝利润进价，售价＝标价×10打折数．【例6】开学后，书店向学校推销两种素质类教育书籍，若按原价买这两种书共需880元，书店推销时第一种书打了八折，第二种书打了七五折，结果两种书共少用了200元，则原来这两种书需要的钱数分别是()A．400元，480元B．480元，400元C．320元，360元D．360元，320元【答案】=8800.80.75=880200xyxy，解得=400=480xy．故选：A【例7】今年“五一节”前，某商场用60万元购进某种商品，该商品有甲、乙两种包装共500件，其中每件甲包装中有75个A种产品，每个A产品的成本为12元；每件乙包装中有100个B产品，每个B种产品的成本为14元．商场将A产品标价定为每个18元，B产品标价定为每个20元．（1）甲，乙两种包装的产品各有多少件？（2）“五一节”商场促销，将A产品按原定标价打9折销售，B种产品按原定标价打8.5折销售，“五一节”期间该产品全部卖完，该商场销售该商品共获利多少元？【答案】解：（1）设甲种包装的产品有x件，乙种包装的产品有y件，根据题意得：=500127514100=600000xyxy，解得：=200=300xy，答：甲种包装的产品有200件，则乙种包装的产品有300件，（2）甲种产品的销售价为：0.9×18＝16.2(元)，乙种产品的销售价为：0.85×20＝17(元)，(16.2－12)×75×200＋(17－14)×100×300＝63000＋90000＝153000(元)，答：该商场销售该产品共获利153000元．【变6】某商场以一定的进价购进一批服装，并以一定的单价售出，平均每天卖出10件，30天共获利15000元，现在为了尽快回笼资金，商场决定将每件衣服降价20%出售，结果平均每天比降价前多卖10件，这样30天可获利12000元，问这批服装每件的进价及降价前出售的单价各是多少？【答案】解：设这批服装每件的进价为x元，降价前出售的单价为y元/件，根据题意得：3010()=1500030(1010)(120%)=12000yxyx，解得：=100=150xy．答：这批服装每件的进价为100元，降价前出售的单价为150元/件．