一-二维形式的柯西不等式

新课导入探究类比不等式a2+b2≥2ab的推导过程，通过乘法及配方，研究关于它的不等关系.分析把该式首先展开，再用配方法，问题就可以解决。解：展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2而(ad-bc)2≥0,因此(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2提示上式(1)是本节课所要研究的柯西不等式.教学目标知识与能力1.认识二维柯西不等式的代数和向量形式.理解二维柯西不等式的几何意义.3.掌握柯西不等式的应用.2.通过探究，思考和讨论，使学生从数形两方面认识柯西不等式的代数和向量的等价关系。过程与方法1.通过探究，从式子变形的角度证出柯西不等式，从而认识其代数形式.2.借助平面向量，从数量积的角度推出二维柯西不等式的向量形式.从而给出几何意义。情感态度与价值观锻炼学生分析问题，解决问题的能力，并培养其审美观。教学重难点重点难点定理(1)和定理(2).数形结合认识(1)与(2)两式的等价关系.定理1（二维形式的柯西不等式）若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.分析你能否证明2222abcdacbd证明22222222abcdabcd2.acbdacbd22222222,,,,.abcdabcdacbdabcdacbd对于任何实数有不等式成立：讨论对一个代数结果进行最简单的诠释，往往要借助直观的几何背景。讨论柯西不等式的几何意义。0xy,ab,cd设在平面直角坐标系xoy中有向量α=(a,b),=(c,d)，与之间的夹角为θ，0≤θ≤π（如图）根据向量数量积的定义，有α.β=│α││β│cosθ用平面向量的坐标表示不等式(2)得：2222,acbdabcd所以│α.β│=│α││β││cosθ│因为│cosθ│≤1,所以│α.β│≤│α││β│定理2（柯西不等式的向量形式）设α，β是两个向量，则│α.β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时，等号成立.探究试从不等式(1)推导不等式(2)，再进行反方向的推导，从数形结合的角度体会两者的等价关系。观察如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据△oP1P2的边长关系，你能发现这四个实数x1,y1,x2,y2蕴含着何种大小关系吗？0xy111,Pxy222,Pxy0xy111,Pxy222,Pxy..定理3(二维形式的三角不等式)112222222211221212,,,,xyxyRxyxyxxyy设那么能用柯西不等式证明吗？证明22222112222222222111122222xyxyxyxyxyxy≥x12+y12+2│x1x2+y1y2│+x22+y22≥x12+y12-2(x1x2+y1y2)+x22+y22=x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)222222211221212xyxyxxyy所以分析不等式(3)对于任何实数都成立，于是可以得到：2222131323232212124xxyyxxyyxxyy探究请结合平面直角坐标系，解释不等式(4)的几何意义。例1分析虽然可以作乘法展开上式的两边，然后在比较它们的大小。但如果注意到不等式的形式与柯西不等式的一致性，既可以避免繁杂了。已知a,b为实数。试证(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)证明根据柯西不等式，有(a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2反思在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算.例21102.xx求函数y=5分析利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化成ac+bd的形式，就能利用柯西不等式求其最大值。2222150.5125521563215512763.27yyxxxxxxx解：函数的定义域为，，且当且仅当时，等号成立，即时函数取最大值例3,114.abab设R，a+b=1,求证分析问题中a+b=1这个条件，由于常数1的特殊性，用a+b去乘任何数或式子，都不会改变它们的值.证明2,,11114.1,114.abRabababababab由于根据柯西不等式，得又所以课堂小结1.二维形式的柯西不等式的代数形式.若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.2.二维形式的柯西不等式的向量形式.设α，β是两个向量，则│α.β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时，等号成立.3.二维形式的柯西不等式的应用.112222222211221212,,,,xyxyRxyxyxxyy设那么随堂练习1.3546yxx求函数的最大值.22560.354634565.yyxxxx解：函数定义域为，，且222.236,211.xyxy已知求证222236,1422311.23211.yxyxyxy证明：因为2x所以因此习题答案习题3.1（第36页）函数定义域为，，且当且仅当即时，函数有最大值221.56y0y=3x-5+46-x(3+4)(x-5+6-x)=54x-5=36-x,134x=5.25三维柯西不等式三维三角不等式22222221231231122332222221112222221212122.(a+a+a)(b+b+b)(ab+ab+ab);x+y+z+x+y+z(x-x)+(y-y)+(z-z)