材料力学--弯曲应力)概要

第十一章弯曲应力最基本常见的弯曲问题——对称弯曲对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合，因而一定是平面弯曲。梁变形后的轴线与外力在同一平面内FAAF1F2B对称轴纵对称面FB§11-1引言§11-2梁横截面上的正应力•梁的正应力强度条件纯弯曲横力弯曲常量MF0S)(0SxMMF0000FSxFFxMFaFalaFⅠ.纯弯曲时梁横截面上的正应力几何方面表面变形情况(1)纵线弯成弧线，靠近顶面的纵线缩短，而靠近底面的纵线则伸长；(2)横线仍为直线，并与变形后的纵线保持正交，只是横线间相对转动。平面假设梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵向对称轴的某一轴转动。即中性轴mabmanbnmmnnaabb根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为中性层。中性层中性轴中性层与横截面的交线就是中性轴。中性层中性轴yOOBBABBB21111dd21xOOd)(yAB——中性层的曲率半径CABO1O2B1d}dxmmnnaabb物理方面——单向应力状态下的胡克定律不计挤压，即认为梁内各点均处于单向应力状态。当p，且拉、压弹性模量相同时，有yyEE即直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。zOyzdAdAy静力学方面0dNAAF0dAyAzMyEE0dzAESAyE0dyzAEIAyzE0zS0yzI即中性轴z是形心轴。对称弯曲时此条件将自动满足。zOyzdAdAy得MAyMAzdyEEMEIAyEzAd2zEIM1zOyzdAdAy得这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。EIz称为梁的弯曲刚度。思考：发生纯弯曲变形的等直梁其轴线将弯成什么曲线？yEEzEIM1弯曲正应力计算公式zIMyzOyzdAdAy中性轴z为横截面的对称轴时zIMymaxmax称为弯曲截面系数maxyIMzzWMyzzybh中性轴z不是横截面的对称轴时zIMymax,tmaxt,zIMymaxc,maxc,Ozyyt，maxyc，max简单截面的弯曲截面系数⑴矩形截面123bhIz62/2bhhIWzz123hbIy62/2hbbIWyy⑵圆形截面64π4dIIyz32π2/2/3ddIdIWWyzyzzybhyzd⑶空心圆截面4444164π64πDdDIIyzDd/yzzWDDIW43132π2/(4)型钢截面：参见型钢表式中DOdyz34132D464D44164D332D3112bh216bh截面zIzWDzyoDzyodhzyob()dD典型截面的惯性矩与抗弯截面系数Ⅱ.纯弯曲理论的推广横力弯曲时：1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲；2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。弹性力学的分析结果：对于细长梁（l/h5），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。zIyxM)(zWxM)(maxFl4lF例图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力max和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力a。B5m10mAFCFAFB12.521166560za375kN.mM解：1、作弯矩图如上，mkN3754maxFlM2、查型钢表得3cm2342zW4cm65586zIMPa160mm102342mmN10375336maxmaxzWMMPa148mm1065586mm212560mmN10375446maxzaaIyM56号工字钢3、所求正应力为12.521166560za或根据正应力沿梁高的线性分布关系的MPa160maxMPa148MPa1602560212560maxmaxyyaa12.521166560zaⅢ梁的正应力强度条件由于max处=0或极小，并且不计由横向力引起的挤压应力，因此梁的正应力强度条件可按单向应力状态来建立：材料的许用弯曲正应力maxzWMmax中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁][tmax,t][cmax,cOzyyt，maxyc，max][tmaxt,maxmaxt,zIyM][cmaxc,maxmaxc,zIyM][][ctmaxc,maxt,yy为充分发挥材料的强度，最合理的设计为例图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。钢的许用弯曲正应力[]=152MPa。试选择工字钢的号码。ABFFF=75kN2.5m2.5m2.5m2.5m10mFBFA解：1、支反力为kN5.11223FFFBA作弯矩图如上。281375单位：kN·m2、根据强度条件确定截面尺寸与要求的Wz相差不到1%，可以选用。zWMmax336maxmm102460MPa152mmN10375MWz333mm102447cm2447zW查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值mkN375maxM例图示槽形截面铸铁梁，已知：b=2m，截面对中性轴的惯性矩Iz=5493104mm4，铸铁的许用拉应力[t]=30MPa，许用压应力[c]=90MPa。试求梁的许可荷载[F]。解：1、梁的支反力为zyC形心86134204018012020BFCbq=F/bDbbAFBFAFFB474FFA据此作出梁的弯矩图如下4maxFbM2maxFbM发生在截面C发生在截面BzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4BFCbq=F/bDbbA2、计算最大拉、压正应力注意到zIyxM)(因此压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条件则B、C截面都要考虑。maxmaxMM21yyzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4而MPa30mm105493mm86mm1022/4332maxt,FIyMzB考虑截面B：MPa90mm105493mm341mm1022/4431maxc,FIyMzBkN2.19FkN8.73FzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4考虑截面C：因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制MPa30mm105493mm134mm1024/4431maxt,FIyMzCkN2.19][FkN6.24FzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4§11-3梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件Ⅰ、梁横截面上的切应力推导思路：近似方法不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程分离体的平衡横截面上切应力分布规律的假设横截面上弯曲切应力的计算公式一、矩形截面梁mmnnq(x)F1F2xdxbhzyhm'mn'nnm'mdxbzyOxFS(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)mnnmm'n'yzyBAA1dA横截面上纵向力不平衡意味着纵截面上有水平剪力，即有水平切应力分布。*N1*N2SdFFF*111*1N***dddzzAzAzASIMAyIMAIMyAF*12*N2dd)d(d**zzAzASIMMAyIMMAF面积AA1mm'对中性轴z的静矩而横截面上纵向力的大小为mnm'y1ABA1B1dxdAyzO*N2FSdF*N1Fx0xF*N1*N2SdFFF*SddzzSIMF纵截面上水平剪力值为**1NzzSIMF**N2dzzSIMMF要确定与之对应的水平切应力‘还需要补充条件。mnm'y1ABA1B1dxdAyzO*N2FSdF*N1Fx矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律(1)由于梁的侧面为=0的自由表面，根据切应力互等定理，横截面两侧边处的切应力必与侧边平行；(2)对称轴y处的切应力必沿y轴方向，即平行于侧边；(3)横截面两侧边处的切应力值大小相等，对于狭长矩形截面则沿截面宽度其值变化不会大。m'mn'nnm'mdxby'A1ABB1hzyOx窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设：(1)横截面上各点处的切应力均与侧边平行；(2)横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。根据切应力互等定理推得：(1)'沿截面宽度方向均匀分布；(2)在dx微段长度内可以认为'没有变化。m'mn'nnm'mdxby'A1ABB1hzyOx*SddzzSIMFbISFbISxMzzzz*S*ddbISFzz*SxbFddS根据前面的分析mnm'y1ABA1B1dxdAyzO*N2FSdF*N1Fx即又由两式得其中：FS→横截面上的剪力；Iz→整个横截面对于中性轴的惯性矩；b→与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；bISFzz*S矩形截面梁弯曲切应力计算公式zyyy1Ad*zS→横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩221*4222/2d*yhbyhyyhbAySAz22S22S4242yhIFyhbbIFzz矩形横截面上弯曲切应力的变化规律bISFzz*Szyyy1AdAFbhFbhhFIhFz23231288SS32S2Smax22S*S42yhIFbISFzzz(1)沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2)同一横截面上的最大切应力max在中性轴处(y=0)；(3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。maxzyOmax二.工字形截面梁1、腹板上的切应力dISFzz*SyyhdyhhbSz22/222*22222yhdhbyhOdbydAyOA*'22*222yhdhbSz腹板与翼缘交界处中性轴处hbdIFz2Smin2S*max,Smax222hdhbdIFdISFzzzyOmaxminmax2、翼缘上的切应力a、因为翼缘的上、下表面无切应力，所以翼缘上、下边缘处平行于y轴的切应力为零；b、计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力(1)平行于y轴的切应力可见翼缘上平行于y轴的切应力很小，工程上一般不考虑。S11S9.0dFAFAyhOdby(2)垂直于y轴的切应力zzISF*S1*N1*N2SdFFFhIFhIFzz222SS*dzzSIM11*N2F*N1FxFdd1S11'yhOdb即翼缘上垂直于y轴的切应力随按线性规律变化。hIFz2S1且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应力流”。yOmaxmaxmin1maxⅡ、梁的切应力强度条件一般max发生在FS,max所在截面的中性轴处，该位置=0。不计挤压，则max所在点处于纯剪切应力状态。梁的切应力强度条件为maxbISFzz*max,max,S材料在横力弯曲时的许用切应力对等直梁，有Em