高中数学椭圆-知识题型总结

陈氏优学教学课题椭圆知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义1．若ABC的两个顶点4,0,4,0AB，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。讲练结合二．利用标准方程确定参数1．椭圆2214xym的焦距为2，则m=。2．椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k。知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。（3）顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1），，；（2），，；（3）,，；知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，，轴长轴长=，短轴长=离心率准线方程焦半径，，注意：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。题型一椭圆焦点三角形面积公式的应用定理在椭圆12222byax（a＞b＞0）中，焦点分别为1F、2F，点P是椭圆上任意一点，21PFF，则2tan221bSPFF.证明：记2211||,||rPFrPF，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121arrarr在△21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr即.4)cos1(242212crra.cos12cos1)(222221bcarr由任意三角形的面积公式得：2tan2cos22cos2sin2cos1sinsin2122222121bbbrrSPFF..2tan221bSPFF典题妙解例1若P是椭圆16410022yx上的一点，1F、2F是其焦点，且6021PFF，求△21PFF的面积.解法一：在椭圆16410022yx中，,6,8,10cba而.60记.||,||2211rPFrPFPyF1OF2xP点P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：.20221arr在△21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方，得：.1443)(21221rrrr.144340021rr从而.325621rr.336423325621sin212121rrSPFF解法二：在椭圆16410022yx中，642b，而.60.336430tan642tan221bSPFF解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例2已知P是椭圆192522yx上的点，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，若21||||2121PFPFPFPF，则△21PFF的面积为（）A.33B.32C.3D.33解：设21PFF，则21||||cos2121PFPFPFPF，.60.3330tan92tan221bSPFF故选答案A.练习6．已知椭圆的中心在原点，1F、2F为左右焦点，P为椭圆上一点，且21||||2121PFPFPFPF，△21PFF的面积是3，准线方程为334x，求椭圆的标准方程.参考答案6．解：设21PFF，120,21||||cos2121PFPFPFPF.3360tan2tan22221bbbSPFF，1b.又3342ca，即33333411222cccccbc.3c或33c.当3c时，222cba，这时椭圆的标准方程为1422yx；当33c时，33222cba，这时椭圆的标准方程为13422yx；但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，为最大，60，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422yx.题型二中点弦问题点差法中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线方程？例3.过椭圆内一点，引一条弦，使弦被点平分，求这条xyMM22164121()弦所在的直线方程。分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。解：法一设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理，得ykx12()()()()4124211602222kxkkxk，又设直线与椭圆的交点为AxyBxyxxxxkkk()()()11221212228241，、，，则、是方程的两个根，于是，又为的中点，∴，解之得，故所求直线方MABxxkkkk122224241212()程为xy240法二设直线与椭圆的交点为，、，，，为的中点，AxyBxyMAB()()()112221∴，，又、两点在椭圆上，则，xxyyABxyxy121212122222424164164012221222，两式相减得()()xxyy∴yyxxxxyy12121212412()即，故所求直线为kxyAB12240点差法1.过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A、B两点，直线y=21x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目.知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理.解法一：由e=22ac,得21222aba,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,.)(221212121yyxxxxyy设AB中点为(x0,y0),则kAB=－002yx,又(x0,y0)在直线y=21x上，y0=21x0,于是－002yx=－1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1.右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),byxbxybxy111221解得则由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=89,1692a.∴所求椭圆C的方程为2291698yx=1,l的方程为y=－x+1.解法二：由e=21,22222abaac得,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=22214kk,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－2212kk.直线l：y=21x过AB的中点(2,22121yyxx),则2222122121kkkk,解得k=0，或k=－1.若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.题型三弦长公式与焦半径公式1、一般弦长公式弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为A、B的横坐标，则AB＝2121kxx，（若12,yy分别为A、B的纵坐标，则AB＝21211yyk），若弦AB所在直线方程设为xkyb，则AB＝2121kyy。2、焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。1.第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数ecaeM()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，xaybabFc22222100()()方程是，对应于左焦点，的准线为左准线xacFcxac2120()②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。2.焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：xaybabPxy22210()()左焦半径∴·左左rxaccarexcaacaex02020右焦半径右右racxcaraex200已知点P在椭圆yaxbab222210()上，FF12、为椭圆的两个焦点，求||||PFPF12·的取值范围6.解：设P()xy00，，椭圆的准线方程为yac±2，不妨设F1、F2分别为下焦点、上焦点则||||PFyaccaPFacyca102220，∴，||||PFcayaPFacay1020∴·||||()()PFPFacayacay1200acay22202∵aya0，∴当y00时，||||PFPFa122·最大，最大值为当yaPFPFacb012222±时，·最小，最小值为||||因此，||||PFPF12·的取值范围是[]ba22，例2.椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当∠为钝角xyFFPFPF221212941时，点P横坐标的取值范围是_______________。（2000年全国高考题）分析：可先求∠F1PF2＝90°时，P点的横坐标。解：法一在椭圆中，，，，依焦半径公式知，abcPFx3253531||||||||||PFxFPFPFPFFF2121222122353，由余弦定理知∠为钝角()(