大学物理-第3章动量定理

重大数理学院赵承均第一篇力学动量单位：千克·米/秒,kg·m/s§3.1质点的动量定理一、动量定理momentum质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。pmv由Newton第二定律，得：dtvmddtvdmamF)(dtpdF这就是动量定理。在经典力学范围内，m=constant，动量定理与F=ma等价，但在高速运动情况下，只有动量定理成立。即：momentumtheorem重大数理学院赵承均第一篇力学由动量定理，有：)(vmddtF1221vmvmdtFtt二、冲量定理元冲量dIFdt0ttIFdt冲量冲量impulse作用在质点上的某力对时间的累计，称为该力对质点的冲量。单位：牛顿秒,N·s冲量是矢量，其方向为合外力的方向。冲量定理：Ip即：合外力的冲量等于质点的动量增量。impulsetheorem重大数理学院赵承均第一篇力学在冲击过程中，力一般是时间的函数。冲击过程中任一时刻质点所受的合力称为此时刻质点上的冲力。平均冲力与同段时间内变力等效。冲力当变化较快时，力的瞬时值很难确定，用一平均力代替该过程中的变力，这一等效力称为冲击过程的平均冲力。dIFdtimpulsion平均冲力meanimpulsionottoFdtIFtttFFoottt重大数理学院赵承均第一篇力学例1：撑杆跳运动员从横杆跃过,落在海棉垫子上不会摔伤，如果不是海棉垫子，而是大理石板，又会如何呢？思考例2：汽车从静止开始运动，加速到20m/s。如果牵引力大，所用时间短；如果牵引力小，所用的时间就长。Ip重大数理学院赵承均第一篇力学动量与冲量的区别①.动量是状态量；冲量是过程量；②.动量方向为物体速度方向；冲量方向为作用时间内动量变化的方向。讨论冲量定理的使用①.计算冲量时，无须确定各个外力，只须知道质点始末的动量即可。②.F为合外力，不是某一个外力。③.动量定理的分量式：otxxxxoxtIFdtpmvv④.平均冲力的计算由：IFt重大数理学院赵承均第一篇力学解：以人为研究对象，可分为两个运动过程，1.自由下落过程—到达地面时的速率为：2.与地面接触碰撞过程，受力分析，规定向上为坐标正向。例：质量为60kg的撑杆跳运动员，从5米的横杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别为1秒和0.1秒，求地面对运动员的平均冲击力。2vgh2oypmgh0yp重大数理学院赵承均第一篇力学由：可以看出当物体状态变化相同量，力的作用时间越短，物体受到的冲击力就越大。当作用时间很短时，重力可忽略不计。yNmgoyyFtp即：2Nmgtmgh2mghNmgt1s,600N600N1200N0.1s,600N6000N6600NtNtN重大数理学院赵承均第一篇力学例1.质量分别为mA和mB(mAmB)的两质点A和B,受到相等的冲量作用,则：[C](A)A比B的动量增量少.(B)A比B的动量增量多.(C)A、B的动量增量相等.(D)A、B的动能增量相等.思考题重大数理学院赵承均第一篇力学例2.质量为20g的子弹沿x轴正向以500m/s的速度射入一木块后，与木块一起以50m/s的速度仍沿x轴正向前进，在此过程中木块所受冲量的大小为（A）（B）（C）（D）[A]9Ns9Ns10Ns10Ns0.02505009Ns重大数理学院赵承均第一篇力学例3.质量为m的小球，以水平速度v与固定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量变化为：（A）mv（B）0（C）2mv（D）-2mv[D]2mvvmv重大数理学院赵承均第一篇力学例4.体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是（A）甲先到达。（B）乙先到达。（C）同时到达。（D）谁先到达不能确定。[C]1122120mvmvvv以甲、乙、绳、滑轮为系统重大数理学院赵承均第一篇力学例5.图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以角速度匀速转动。在小球转动一周的过程中，求：①小球动量增量的大小。②小球所受重力的冲量大小。③小球所受绳子拉力的冲量大小。①小球运动一周动量变化为0。③由①可知，小球所受重力和拉力的冲量为0，因此，拉力的冲量必然等于小球重力冲量的负值，即：②解：2mgmgImgT2NmgImgT重大数理学院赵承均第一篇力学§3.2质点系的动量定理一、质点系在实际问题中，选取质心作用参考点，常使得问题简化。质心相互作用的质点构成的整体，称为质点系。由运动的可迭加性质（亦即矢量的性质），质点系的整体运动可以看做是各个质点单独运动的迭加。1NiiiCmrrM质心的位矢xoyzcririmcmmasscenterparticlesystem将质点系看做是具有质量中心的系统，质点系的运动可以由此点的运动来替代。这个特殊点叫做质点系的质量中心，简称质心。1NiiMm重大数理学院赵承均第一篇力学对于N个质点组成的质点系中的第i个质点，满足动量定理：二、质点系的动量定理1eFimjm2eFijiFiijFieiiiidpFFFdtN个质点列出N个方程，取和得到：1NieiidpdpFFFdtdt显然：edpFdt0iF即：质点系的合外力导致总动量的变化。resultantexternalforce重大数理学院赵承均第一篇力学即：合外力的冲量等于质点系动量的增量。动量守恒定律0eoFpp即：质点系的合外力为零时，系统的总动量保持不变，也就是质点动量的矢量和不变。三、质点系的冲量定理eFdtdp显然：eedIFdt外力元冲量为：积分得到：0teeotIFdtppThelawofconservationofmomentum§3.3动量守恒律重大数理学院赵承均第一篇力学1.内力不会改变系统的动量，只有外力可改变系统的动量。例如：两队运动员拔河，有的人说甲队力气大，乙队力气小，所以甲队能获胜，这种说法是否正确?甲队乙队讨论质点系的动量定理重大数理学院赵承均第一篇力学分析：拔河时，甲队拉乙队的力，与乙队拉甲队的力是一对作用力与反作用力，为系统的内力，不会改变系统总的动量。只有运动员脚下的摩擦力才是系统外力，因此哪个队脚下的摩擦力大，哪个队能获胜。所以拔河应选质量大的运动员，以增加系统外力。1F2F重大数理学院赵承均第一篇力学2.动量守恒是指总动量不变，各个质点的动量是可以变化的，通过内力的作用，动量在系统内的各个质点间进行转移。3.动量守恒定律要求合外力为零的条件比较苛刻，如果内力远大于外力，或内力的冲量远大于外力的冲量时，可以当作合外力为零的近似情况。4.动量定理与动量守恒定律都是矢量方程，在选取合适的坐标系后，可以写成相应各分量方程形式，则方程两端的物理含义表明了相应方向上的合外力与动量变化之间的关系。例如：导弹的出射、鞭炮的爆炸等。重大数理学院赵承均第一篇力学例:一质量均匀的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落到桌面上。试证明：在绳下落的过程中任意时刻作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳重量的三倍。设t=0时刻，绳的上端为x轴的原点O，向下为正方向，绳长为l,总质量为M。证：由牛顿第三定律，,为桌面对绳子的作用力，为绳子对桌面的反作用力。'NN'NNoxx'Nl重大数理学院赵承均第一篇力学则t时刻，已落到桌面上的绳长为x，质量为：重力为：以之为研究对象，受力如图所示。xmMlxGMgl由平衡条件：0GNT代入得到：MgNxTl重力平均冲击力支持力0GTNmNGT重大数理学院赵承均第一篇力学求T：取dt内落至桌面的dx为研究对象，受力如图所示：MdxdGgl下落时桌面绳子对它的作用力，即平均冲击力的反作用力：'TT'TdmdG'TdG由动量定理：'0MTdtvdxl即：'22MdxMMTvvgxldtll重大数理学院赵承均第一篇力学23MMMNxgxgxglll'3MNxgl重大数理学院赵承均第一篇力学碰撞过程可分为完全弹性碰撞、弹性碰撞、完全非弹性碰撞。①特点：机械能守恒、动量守恒。1m2m2ov1ov碰前1m2m碰撞四、碰撞过程1.完全弹性碰撞1m2m碰后2v1vtotalyelasticcollisioncollidingprocess重大数理学院赵承均第一篇力学由机械能守恒：22221122112211112222oomvmvmvmv11221122oomvmvmvmv由动量守恒：联立求解：12122112()2oommvmvvmm21211212()2oommvmvvmm重大数理学院赵承均第一篇力学2.讨论：122,0ommv1m2m1ov121221121()2ooommvmvvmmv21211212()20oommvmvvmm当m1m2，且第二个球静止时，则碰撞后，第一个球以原速反弹回来，而第二球仍保持静止。重大数理学院赵承均第一篇力学12mm相同质量两个球发生弹性碰撞，碰撞两球速度交换。2ov1ov1m2m121221122()2ooommvmvvmmv212112121()2ooommvmvvmmv重大数理学院赵承均第一篇力学122,0ommv121221121()2ooommvmvvmmv212112121()22ooommvmvvmmv当m1m2时，且第二个球静止，则碰后，第一个球速度不变，而第二球以2倍于第一个球的初速度运动。1m2m1ov重大数理学院赵承均第一篇力学特点：机械能不守恒，动量守恒。碰撞后两物体合为一体。物体形变能量不能恢复。112212()oomvmvmmv2.完全非弹性碰撞1m2m碰前1ov2ov1m2m碰后v112212oomvmvvmmtotallynon-elasticcollision重大数理学院赵承均第一篇力学例1.质量为M=2.0kg的物体（不考虑体积）,用一根长l=1.0m为的细绳悬挂在天花板上,今有一质量为m=20g的子弹以v0=600m/s的水平速度射穿物体,刚射出物体时子弹的速度大小v=30m/s,设穿透时间极短,求:①子弹刚穿出时绳中张力的大小。②子弹在穿透过程中所受的冲量。lvovmM①因穿透时间极短,可认为物体未离开平衡位置,因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向,故系统在水平方向上动量守恒,设子弹穿出时物体的速度为则:解：'v'omvmvMv'5.7m/somvvvM重大数理学院赵承均第一篇力学-号表示冲量的方向与速度方向相反，即水平向左。子弹穿出瞬间，物体绕悬挂点做圆周运动：'2vTMgMl'284.6NvTMgl（2）子弹受冲量:11.4NsmmoIpmvmvlvovmM重大数理学院赵承均第一篇力学例2.一枚静止的炸弹在水平面内爆炸，炸成三块。第一块质量为m，速度v1=800m/s，向西；第二块质量为m，速度v2=600m/s,向南；第三块质量为2m，求：第三块弹片的速度大小和方向。m2mm1v2v3?v重大数理学院赵承均第一篇力学§3.4角动量角动量定理动量矩（角动量）角动量是另一种矢量矩。对点的动量矩定义如右图所示。一、矢量矩对某一参考点而言，定义矢量对此点的矩，称为对点的矢量矩；对某轴的矩，称为对轴的矢量矩。力矩（角力）力矩是一种矢量矩。对点的力矩定义如右图所示：oFMˆsinMrFrFMˆsinLrprpLovLrrvector’smomentmomentangularmomen