求解离心率的范围问题

1求解离心率的范围问题离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.一、【知识储备】求离心率的方法[来源:学,科,网Z,X,X,K]离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：（1）直接求出a、c，求解e：已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式ace来求解；（2）变用公式，整体求出e：以椭圆为例，如利用22222221cabbeaaa，2222211cebcbc；（3）构造a、c的齐次式，解出e：根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值.二、求解离心率的范围的方法1借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用,,abc进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围.【例1】已知椭圆的中心在O,右焦点为F，右准线为l，若在l上存在点M，使线段OM[来源:Zxxk.Com]的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是_____________.【答案】：1,22[来源:Z+xx+k.Com]xyMFOl2【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【牛刀小试】已知椭圆22122:1(0)xyCabab与圆2222:Cxyb，若在椭圆1C上存在点P，使得由点P所作的圆2C的两条切线互相垂直，则椭圆1C的离心率的取值范围是______________.【答案】2[,1)2【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB，则两切线形成的角APB最小，若椭圆1C上存在点P令切线互相垂直，则只需090APB，即045APO，∴02sinsin452ba，解得222ac，∴212e，即22e，而01e，∴212e，即2[,1)2e.2借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.BoF1FAxy【例2】已知椭圆22221(0)xyabab上一点A关于原点O的对称点为,BF为其右焦点，若,AFBF3设,ABF且,,124则椭圆离心率的取值范围是.【答案】26[,]23【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2sin2cos2cca，然后借助已知条件,,124利用三角函数的图象求解离心率的范围.【牛刀小试】过椭圆C：)0(12222babyax的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若31＜k＜21,则椭圆的离心率的取值范围是.【答案】(32,21)【解析】如图所示：2AFac|，222acBFa，2222222tanacBFacakBAFAFacaac，又∵31＜k＜21，∴221132acaac，∴2111312ee，解得1223e．3借助函数的值域求解范围根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函4数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.[来源:学|科|网Z|X|X|K]【例3】已知椭圆221:12xyCmn与双曲线222:1xyCmn有相同的焦点，则椭圆1C的离心率e的取值范围为_________________.【答案】2(,1)2【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系，得到函数关系式21112em，进而根据m的范围，借助反比例函数求解离心率的范围.【牛刀小试】已知两定点(2,0)A和(2,0)B，动点(,)Pxy在直线:3lyx上移动，椭圆C以,AB为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为______________.【答案】426【解析】由题意可知，2c，由2ceaa可知e最大时需a最小，由椭圆的定义||||2PAPBa，即使得||||PAPB最小，如图，设(2,0)A关于直线3yx的对称点(,)Dxy，由011202322yxyx，可知(3,1)D.所以22||||||||||1526PAPBPDPBDB，即226a，所以262a，则52426262cea.4根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆2222100xyabab，中，axa，P是椭圆上任意一点，则1acPFac等。【例4】设12,FF为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，且12||2FFc，若椭圆上存在点P使得212||||2PFPFc，则椭圆的离心率的最小值为______．【答案】33【点评】为椭圆上的一点是本题的关键条件，根据圆锥曲线的共同特征把212||||2PFPFc转化成基本量a，c，e与0x的关系式，结合椭圆的范围，即可得到e的不等式，从而求出其最小值．【牛刀小试】已知12,FF分别为双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若212PFPF的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是__________.【答案】1,3【解析】本题以双曲线为素材，综合考查双曲线的离心率和函数的最值，难度中等．设2||PFt，则1||2PFat，tca．又22212||(2)448||PFatataaPFtt，当且仅当2ta时，等号成立．所以2caa，所以13e．6通过以上类型的分析，灵活多变的离心率范围问题是一个棘手问题，需要通过必要的练习进行方法和思路的寻找，并且培养对题目中的不等关系的灵敏的感知和转化.【迁移运用】1．【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，1B，2B分别为椭圆2222:1(0)xyCabab的右、下、上顶点，F是椭圆[来C的右焦点．若21BFAB，则椭圆C的离心率是．【答案】5122．【江西南昌市2017届摸底考试，10】若圆22(3)(1)3xy与双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为。【答案】233【解析】[来源:Z.xx.k.Com]试题分析：由题意得|3|233323bacabcbeca.考点：直线与圆相切，双曲线离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭y（第10题）xOFAB2B17圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3．【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，9】焦点在x轴上的椭圆方程为222210xyabab，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为.【答案】12考点：椭圆的标准方程与几何性质.4.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，14】在平面直角坐标系xOy中,若双曲线22214xymm的离心率为5,则m的值为．【答案】2【解析】[来源:学科网]试题分析：由题意得240,5mmmm，解得2.m考点：双曲线离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5．【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，11】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，1A，2A，1B，2B为椭圆的顶点，2F为右焦点，延长12BF与22AB交于点P，若12BPB为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是8【答案】51(0,)2【解析】考点：椭圆的性质.学科网【思路点睛】根据12BPB为22BA与21FB的夹角，并分别表示出22BA与21FB，由∠B1PB2为钝角，222210BAFBacb，利用椭圆的性质，可得到210ee，即可解得离心率的取值范围．6．【河北邯郸2017届9月联考，11】如图，1F，2F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右两个焦点，若直线yx与双曲线C交于P、Q两点，且四边形12PFQF为矩形，则双曲线的离心率为.【答案】229考点：1、双曲线的简单几何性质；2、双曲线的概念．学科网【思路点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质和双曲线的概念，考查学生综合知识能力和图形识别能力，数中档题.其解题的一般思路为：首先根据矩形的性质并将直线yx代入双曲线C方程中即可得出点P的坐标，再由矩形的几何性质可得cabba22222，最后可得出所求的结果.其解题的关键是正确地运用矩形的几何性质求解双曲线的简单几何性质.7．【山东省实验中学2017届高三第一次诊，15】过双曲线22221xyab（0a，0b）的右焦点F作渐进线的垂线，设垂足为P（P为第一象限的点），延长FP交抛物线22ypx（0p）于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2OPOFOQ，则双曲线的离心率的平方为．【答案】512考点：双曲线定义【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8．【河南百校联考2017届高三9月质检，16】已知双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点分别为12,0,,0FcFc，,AB是圆2224xcyc与C位于x轴上方的两个交点，且12//FAFB，则双10曲线C的离心率为______________．【答案】3174考点：双曲线定义及离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9．【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】已知椭圆22221(0)xyabab上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AFBF，设ABF，且[,]126，则该椭圆的离心率e的取值范围为________________.【答案】6[31,]3【解析】把xc代入椭圆方程解得2bya，取2(,)bAca，则2(,)bBca；由图可知222,tan,tan22bbbaOBFAOFOFBAOFOFBaccac，所以tantanOBF112222441tantan1tantan21eeAOFOFBacbAOFOFBacbe；又[,]126，所以323tan3，即24132313eee，解得6313e．10．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为21,F