同济版大一高数第十一章第一节对弧长和曲线积分

1高等数学第二十讲2第十一章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分3第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分第十一章二、对弧长的曲线积分的应用4AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得nk1M为计算此构件的质量,ks1kMkM),,(kkk1.引例:曲线形构件的质量采用5设是空间中一条有限长的光滑曲线,义在上的一个有界函数,kkkksf),,(都存在,上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),,(若通过对的任意分割局部的任意取点,2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量szyxMd),,(nk10limks1kMkM),,(kkk和对6如果L是xoy面上的曲线弧,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果L是闭曲线,则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分为思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,?d表示什么问Ls(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.此为一种新的和式极限。定积分：分割对一元函数babaxxf,,)(线积分：分割。对二元函数LLyxyxf,,轴上的一段时，在当xLknkkxf)0,(lim10不是定积分。0kkxS73.性质szyxfd),,()1(（k为常数)szyxfd),,()3((由组成)(l为曲线弧的长度)),,(zyxgszyxfd),,(szyxgd),,(21d),,(d),,(szyxfszyxf5,,ABBAfxydsfxyds由定义可知：此曲线积分不论积分弧段的方向如何，kS总取正值，定义中右端的和式极限不变，则有：换向不变号(,,)dfxyzs01lim(,,)nkkkkkfs8tttttfsdyxfLd)()()](,)([),(22二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分且求曲线积分说明:,0)1(sd因此积分限必须满足!(2)注意到22)(d)(ddyxstttd)()(22xdydsdxyox因此上述计算公式相当于“换元法”.9小弧段的求法：21()ydy21()xdx22SdSdxdy21dydSdxdx21dxdSdydy22dxdydSdtdtdt曲线：:Lyxaxb:Lxycyd:xtLytt22()()ttdtxdydsdxyox10),()(:rrL则()cos,()()sinxryr则()cos()sindxrrd22()()ddSrr22222()()dxdyrrd()sin()cosdyrrd如果方程为极坐标形式:11(,())bafxx21()dxx(,)dcfyy21()dyy)sin)(,cos)((rrfd)()(22rr极坐标：12)()(,)(),(:ttztytx则szyxfd),,(ttttd)()()(222))(),(,)((tttf推广:设空间曲线弧的参数方程为222d(d)(d)()sxydz222()()()dtttt13例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:)10(:2xxyLxxxd4110210232)41(121x)155(121上点O(0,0)1Lxy2xyo)1,1(Bxdxxdxsd222121)41(d41812102xx14).(,sin,cos:,象限第椭圆求tbytaxLxydsIL解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincosdttbtattab222220cossincossin322222222[()sin]22()30ababtbab.)(3)(22bababaab例2.2222220()sinsin2ababtbdt]sin)[(sin)()(2222222222022btbadbtbabaab15例3.计算其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解:在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1arL利用对称性,得4022d)()(cos4rrr402dcos4ayox16例4.计算曲线积分其中为螺旋的一段弧.解:szyxd)(222ttkakad][2022222)43(3222222kaka线17dds例5.计算其中为球面22yx解:,11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)sin2(18d22920Id2cos221z.1的交线与平面zx292z化为参数方程21cos2xsin2y则18例6：计算：LsdyxIL为图示三角形周界。BOABOAL解：100:xxdsdyOA102111:2xxdxdsdxyAB100:yydsdxOBOBABOAI10xdx1012xd10ydy21x0,1AyO1,0B1xy19例7：计算其中曲线L为单位圆从点A(0,1)沿顺时针方向到点13,.22B解法123sincos:ttytxLtdsdtdtI03sintdt20sin2003coscostt231,0A0,1C23,21BOxy20ydyydyxsdy222111ydy21121231yydyI20231yydy2101yydy02321y1021y2321:yxL123y解法21,0A0,1C23,21BOxy例7：计算其中曲线L为单位圆从点A(0,1)沿顺时针方向到点13,.22B21例7：计算其中曲线L为单位圆从点A(0,1)沿顺时针方向到点13,.22B解法321:xyLxdxsd211ACCBI210211xxdx2121211xxdx231,0A0,1C23,21BOxy22例8：计算LyxsdeI22L由0222aayx.yxx轴如图所围成及x2,2aaAyO0,aB解：xdsdxyoA2:02xattdasd43xdeaxOA0222xdeax20221ae34aABaedtcos:sinxatAByatLOAABBOaea42300:xaxdsdyBOxdeaxBO0xdeax010aaxee242aaLeaeI例8：计算LyxsdeI22L由222ayx.yxx轴如图所围成及x2,2aaAyO0,aB24例9.计算其中为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知sxd2szyxsxd)(31d2222sad312aa2312332asyd2szd225例10已知椭圆134:22yxL周长为a,求syxxyLd)432(22提示:0d2sxyL原式=syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2)(2x分析:26例1122()LLxdsxyds计算其中L为上半圆周解:22()Lxxyds048Lds27三、几何与物理意义,),()1(的线密度时表示当Lyx;),(LdsyxM;,1),()2(LdsLyxf弧长时当,),(),()3(处的高时柱面在点上的表示立于当yxLyxf.),(LdsyxfS柱面面积sL),(yxfz28,)4(轴的转动惯量轴及曲线弧对yx.,22LyLxdsxIdsyI曲线弧的质心坐标)5(.,LLLLdsdsyydsdsxx29例1.计算半径为R,中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).解:建立坐标系如图,RxyoLsyILd2dsin2022RRdsin2023R30sin22R)cossin(3R有对称性则)(sincos:RyRxLsdyId2dRds30(1s2)dRco30210,202xyxxyzz＋＋＝和被平面截下部分的面积A。解：如图所示，先作柱面212xysdyxfAd,sdyx)2(,ABAfxyds2ABxydsxdxxxA2202121222:11022xABydsxdxx32ln833316163例2：求由抛物柱面yzxsdsB0,2A31例3：已知曲杆方程为,222xxy其上各点的密度241x求1、曲杆的长S.2、质量M.3、质心.,YXM4、曲杆的转动惯量.yIxy4,2A4,2BO解：xdxsd241LsdS.1xdx2024121217ln4172202412.2xdxsdML376MsdyYXL0.32.2)41(27632022xdxxsdxIdy2.4xdxxIy2022)41(21584832例4设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于z轴的转动惯量;zI(2)求它的形心.解:设其密度为ρ(常数).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2)L的长度dLls222ak由对称性(1)tkadsd2222kak20dtt2222kak故形心坐标为),0,0(k33内容小结1.定义szyxfd),,(2.性质Lsyxfd),(szyxgzyxfd),,(),,()1(21d),,(d),,(d),,()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由lsd)3((l曲线弧的长度)),(为常数szyxgLd),,(343.计算•对光滑曲线弧Lsyxfd),(•对光滑曲线弧Lsyxfd),(baxxf))(,(Lsyxfd),(