同济版大一高数下第十二章第五节函数的幂级数展开式的应用GAI

1第五节一、近似计算函数幂级数展开式的应用第十二章四、欧拉公式三、求数项级数的和二、计算定积分2一、近似计算,21nuuuS,21nuuuS.21nnnuur误差两类问题:1.给定项数,求近似值并估计精度;2.给出精度,确定项数.关健:通过估计余项,确定精度或项数.31.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为常用方法:等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.4余和:)!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1nn))1(1111()!1(12nnn!1nn,105nr欲使,10!15nn只要,10!5nn即,10322560!885而!81!31!2111e71828.2.10,5使其误差不超过的近似值计算e解,!1!2112nxxnxxe,1x令,!1!2111ne得例15753)20(!71)20(!51)20(!312020sin例2.利用求误差.解:先把角度化为弧度9(弧度)52)20(!51r5)2.0(120151031!3sin3xxx!55x!77x000646.0157080.03)20(!312020sin误差不超过510的近似值,并估计15643.0(P287)6二、计算定积分.,,ln1,sin,2难以计算其定积分函数表示原函数不能用初等例如函数xxxex解法逐项积分展开成幂级数定积分的近似值被积函数7(取例3.计算积分的近似值,精确到)56419.01解:2xe!)1(20nxnnn)(xxexd22210xd2210!)1(20nxnnn0!)1(2nnnxxnd20210!)1(2nnn1221n)12(n!3721!252132111642(P288)8!3721!252132111642nnnnr22)12(!1141042102)12(!nnn则n应满足xexd22120则所求积分近似值为欲使截断误差5205.0例3.计算积分的近似值,精确到2xe0!)1(2nnn1221n)12(n9三、欧拉(Euler)公式则称①收敛,且其和为)(1nnnviu绝对收敛,1nnu)(1nnnviu收敛.,1uunn,1vvnn若nnnviu1.viu221nnnvu收敛,若对复数项级数,22nnnvuu22nnnvuv①1nnv绝对收敛则称①绝对收敛.由于,故知10定义:复变量的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛.当y=0时,它与实指数函数xe当x=0时,nyiyinyiyiyie)(!1)(!31)(!21132nnynyy242!)2()1(!41!211ycos12153!)12()1(!51!31nnynyyyyisin的幂级数展式一致.11xixexisincosxixexisincos（欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式rxxyyoyixzyixzsincosirier则